( 4 pontos cada item) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^{3}}+x^{2}+3\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^{3}}+x^{2}+3\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a soma de quatro termos: \frac{2}{\sqrt{x}}, \frac{1}{x^{3}}, x^{2} e 3.
  • Queremos uma primitiva (ou seja, uma expressão cuja derivada seja a função inteira acima), mais a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: usar a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais) e escrever cada termo como potência de x. Vou reescrever os termos em potências:
\frac{2}{\sqrt{x}} = 2x^{-1/2},\qquad \frac{1}{x^{3}} = x^{-3},\qquad x^{2} \text{ e } 3.
Pelo princípio da linearidade:
\int\left(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^{3}}+x^{2}+3\right)\,dx = \int 2x^{-1/2}\,dx + \int x^{-3}\,dx + \int x^{2}\,dx + \int 3\,dx.

Passo 3

Agora vamos usar a regra básica de potenciais (regra do “power rule”) para integrais: se n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Explicando por que isso vale (rápido): derivando \dfrac{x^{n+1}}{n+1} obtemos \dfrac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n}, então essa função é realmente uma primitiva de x^{n}. Também usaremos a regra da constante: \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx para a constante.

Passo 4

Integrando o primeiro termo 2x^{-1/2}.
Aplicando a constante 2 para fora e a regra do power rule com n=-\tfrac{1}{2}:
\int 2x^{-1/2}\,dx = 2\cdot\int x^{-1/2}\,dx =2\cdot\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} =2\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}.
Como \dfrac{1}{1/2}=2, isso dá
\int 2x^{-1/2}\,dx = 2\cdot 2x^{1/2} = 4x^{1/2}.
(Alternativa equivalente: 4\sqrt{x}.)

Passo 5

Integrando o segundo termo x^{-3}.
Aqui n=-3, então
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}x^{-2}.
Em forma de fração com x positivo, isso é
-\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}} = -\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 6

Integrando o terceiro termo x^{2}.
Usando n=2:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 7

Integrando o quarto termo 3 (constante).
Regra: \int a\,dx = a x + C. Assim
\int 3\,dx = 3x.

Passo 8

Somando todas as primitivas parciais e adicionando a constante de integração C:
4x^{1/2} - \frac{1}{2}x^{-2} + \frac{x^{3}}{3} + 3x + C.
Se preferir escrever com raízes e frações positivas no denominador:
4\sqrt{x} - \frac{1}{2x^{2}} + \frac{x^{3}}{3} + 3x + C.

Passo 9

Verificação rápida (opcional mas útil): derivando a expressão final obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(4x^{1/2}\right)=4\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=2x^{-1/2},
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{2}x^{-2}\right)=-\frac{1}{2}\cdot(-2)x^{-3}=x^{-3},
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2}, \qquad \frac{d}{dx}(3x)=3.
Somando dá exatamente o integrando original, então a primitiva está correta.

Resposta

4\sqrt{x}-\dfrac{1}{2x^{2}}+\dfrac{x^{3}}{3}+3x+C

Exercícios relacionados