( 4 pontos cada item) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é a soma de quatro termos:
, , e . - Queremos uma primitiva (ou seja, uma expressão cuja derivada seja a função inteira acima), mais a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo prático: usar a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais) e escrever cada termo como potência de
. Vou reescrever os termos em potências:
Pelo princípio da linearidade:
Passo 3
Agora vamos usar a regra básica de potenciais (regra do “power rule”) para integrais: se
,
Explicando por que isso vale (rápido): derivando
obtemos
, então essa função é realmente uma primitiva de
. Também usaremos a regra da constante:
para
constante.
Passo 4
Integrando o primeiro termo
.
Aplicando a constante para fora e a regra do power rule com
:
Aplicando a constante
Como
, isso dá
(Alternativa equivalente:
.)
Passo 5
Integrando o segundo termo
.
Aqui , então
Aqui
Em forma de fração com
positivo, isso é
Passo 6
Integrando o terceiro termo
.
Usando :
Usando
Passo 7
Integrando o quarto termo
(constante).
Regra: . Assim
Regra:
Passo 8
Somando todas as primitivas parciais e adicionando a constante de integração
:
Se preferir escrever com raízes e frações positivas no denominador:
Passo 9
Verificação rápida (opcional mas útil): derivando a expressão final obtemos
Somando dá exatamente o integrando original, então a primitiva está correta.