Calcule a seguinte integral
\int x(\operatorname{sec} x)^{2} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int x(\operatorname{sec} x)^{2}\,dx.\n
Informações dadas: a variável de integração é x; o integrando é o produto de x por (\operatorname{sec} x)^{2}.\n
O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) desta função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x(\operatorname{sec} x)^{2}.

Passo 2

Qual técnica usar e por quê (explicação didática): quando temos um produto envolvendo um polinômio em x (aqui x) e uma função cuja primitiva é simples (aqui (\operatorname{sec} x)^{2} tem primitiva \tan x), a técnica natural é a integração por partes. Vou apresentar a fórmula e derivá-la rapidamente para você entender de onde vem. \n
A fórmula da integração por partes vem da regra do produto da derivada: \dfrac{d}{dx}(u v)=u'\,v+u\,v'. Integrando ambos os lados obtemos a forma usada na integração:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u é uma função escolhida (que vamos diferenciar) e dv é a parte que integramos para obter v.

Passo 3

Escolha de u e dv (explicando a escolha): para \displaystyle \int x(\operatorname{sec} x)^{2}\,dx escolhemos
u = x \quad\text{e}\quad dv = (\operatorname{sec} x)^{2}\,dx,
porque derivar x simplifica (vira 1) e integrar (\operatorname{sec} x)^{2} é direto (sabe-se que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x). Vou mostrar isso:
du = dx
e, usando que
\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x,
temos
v=\int (\operatorname{sec} x)^{2}\,dx=\tan x.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes: substituindo u, v, du e dv em \displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos
\int x(\operatorname{sec} x)^{2}\,dx = x\cdot \tan x - \int \tan x\,dx.
Então a integral original reduziu para calcular \displaystyle \int \tan x\,dx.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int \tan x\,dx detalhadamente: escrevemos \tan x como \dfrac{\sin x}{\cos x} e fazemos a substituição w=\cos x. Assim
\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx.
Com w=\cos x temos dw=-\sin x\,dx, ou seja \sin x\,dx = -dw. Então
\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int \frac{-dw}{w} = -\ln|w| + C = -\ln|\cos x| + C.
Portanto \displaystyle \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C.

Passo 6

Voltar para a expressão obtida em Passo 4 e combinar os resultados: substituindo \displaystyle \int \tan x\,dx na fórmula do Passo 4,
\int x(\operatorname{sec} x)^{2}\,dx = x\tan x - \bigl(-\ln|\cos x|\bigr) + C = x\tan x + \ln|\cos x| + C.
Observação sobre formas alternativas equivalentes: usando \ln|\cos x| = -\ln|\operatorname{sec} x|, a resposta também pode ser escrita como x\tan x - \ln|\operatorname{sec} x| + C.

Resposta

\displaystyle x\tan x + \ln|\cos x| + C

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