Calcule a seguinte integral
\int x(\operatorname{sec} x)^{2} d x
\int x(\operatorname{sec} x)^{2} d x
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
.\n
Informações dadas: a variável de integração é ; o integrando é o produto de
por
.\n
O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) desta função, ou seja, uma função tal que
.
Informações dadas: a variável de integração é
O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) desta função, ou seja, uma função
Passo 2
Qual técnica usar e por quê (explicação didática): quando temos um produto envolvendo um polinômio em
(aqui
) e uma função cuja primitiva é simples (aqui
tem primitiva
), a técnica natural é a integração por partes. Vou apresentar a fórmula e derivá-la rapidamente para você entender de onde vem. \n
A fórmula da integração por partes vem da regra do produto da derivada: . Integrando ambos os lados obtemos a forma usada na integração:
A fórmula da integração por partes vem da regra do produto da derivada:
Aqui
é uma função escolhida (que vamos diferenciar) e
é a parte que integramos para obter
.
Passo 3
Escolha de
e
(explicando a escolha): para
escolhemos
porque derivar
simplifica (vira
) e integrar
é direto (sabe-se que a derivada de
é
). Vou mostrar isso:
e, usando que
temos
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes: substituindo
,
,
e
em
, obtemos
Então a integral original reduziu para calcular
.
Passo 5
Calcular
detalhadamente: escrevemos
como
e fazemos a substituição
. Assim
Com
temos
, ou seja
. Então
Portanto
.
Passo 6
Voltar para a expressão obtida em Passo 4 e combinar os resultados: substituindo
na fórmula do Passo 4,
Observação sobre formas alternativas equivalentes: usando
, a resposta também pode ser escrita como
.