O
é igual a:
(A) 0
(B)
(C)
(D)
(E) 1
(A) 0
(B)
(C)
(D)
(E) 1
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
As informações dadas são apenas a expressão acima e que a variável
tende a
. A pergunta é um único número (uma das alternativas A–E).
Passo 2
Observação inicial do comportamento quando
: tanto
quanto
tendem a
, então cada parcela diverge isoladamente e temos uma indeterminação do tipo “∞−∞”. Isso sugere que os termos leading (de maior ordem) podem se cancelar e que precisamos expandir as duas parcelas até a ordem constante (ou seja, até termos que não explodam) para achar o limite finito.
Passo 3
Método escolhido e por quê: usar expansão em série de Taylor (ou binomial) de ordem suficiente para
perto de
. Esta é uma técnica padrão e simples para lidar com potências fracionárias próximas de
. Vamos pôr
com
, e expandir
até termos em
para obter a constante após a subtração.
Lembrete da expansão de primeira/segunda ordem (fórmula de Taylor/binomial para
pequeno):
onde
indica termos que são muito menores que
quando
. Aqui
será
e
.
Passo 4
Colocar
com
. Primeiro expandir as raízes:
Para
(raiz quadrada):
Logo
Para
(raiz cúbica):
Logo
Passo 5
Agora precisamos das recíprocas
e
. Para uma quantidade pequena
com expansão
(aqui
), a recíproca tem expansão
Vamos aplicar essa fórmula aos casos acima, lembrando que os sinais dos
são negativos (pois
e
começam por termos
).
Passo 6
Aplicar a fórmula ao caso da raiz quadrada:
Aqui , então
e
. Assim
Aqui
Calcule os termos:
Como há o sinal negativo na fórmula, temos
Multiplicando pelo fator
da expressão original:
Passo 7
Aplicar a fórmula ao caso da raiz cúbica:
Aqui , então
e
. Assim
Aqui
Calcule os termos:
Portanto
Multiplicando pelo fator
da expressão original:
Passo 8
Agora subtrair as duas parcelas usando as expansões obtidas:
Os termos singulares
cancelam, sobrando
Tomando
(ou seja,
) o
some e o limite é
.
Passo 9
Interpretação final: o cancelamento das partes que divergem mostrou que o limite existe e é o valor constante que sobrou das expansões de segunda ordem.
Resposta
(C)