O \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{2(1-\sqrt{x})}-\frac{1}{3(1-\sqrt[3]{x})}\right) é igual a:
(A) 0
(B) 1 / 16
(C) 1 / 12
(D) 1 / 2
(E) 1

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{2\bigl(1-\sqrt{x}\bigr)}-\frac{1}{3\bigl(1-\sqrt[3]{x}\bigr)}\right).
As informações dadas são apenas a expressão acima e que a variável x tende a 1. A pergunta é um único número (uma das alternativas A–E).

Passo 2

Observação inicial do comportamento quando x\to1: tanto 1-\sqrt{x} quanto 1-\sqrt[3]{x} tendem a 0, então cada parcela diverge isoladamente e temos uma indeterminação do tipo “∞−∞”. Isso sugere que os termos leading (de maior ordem) podem se cancelar e que precisamos expandir as duas parcelas até a ordem constante (ou seja, até termos que não explodam) para achar o limite finito.

Passo 3

Método escolhido e por quê: usar expansão em série de Taylor (ou binomial) de ordem suficiente para x perto de 1. Esta é uma técnica padrão e simples para lidar com potências fracionárias próximas de 1. Vamos pôr x=1+u com u\to0, e expandir (1+u)^\alpha até termos em u^2 para obter a constante após a subtração.
Lembrete da expansão de primeira/segunda ordem (fórmula de Taylor/binomial para |u| pequeno):
(1+u)^\alpha = 1 + \alpha u + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}u^2 + o(u^2),
onde o(u^2) indica termos que são muito menores que u^2 quando u\to0. Aqui \alpha será \tfrac12 e \tfrac13.

Passo 4

Colocar x=1+u com u\to0. Primeiro expandir as raízes:
Para \alpha=\tfrac12 (raiz quadrada):
\sqrt{x}=(1+u)^{1/2}=1+\tfrac{1}{2}u+\frac{\tfrac{1}{2}(\tfrac{1}{2}-1)}{2}u^2+o(u^2) =1+\tfrac{1}{2}u-\tfrac{1}{8}u^2+o(u^2).
Logo
1-\sqrt{x}=-\tfrac{1}{2}u+\tfrac{1}{8}u^2+o(u^2).
Para \alpha=\tfrac13 (raiz cúbica):
\sqrt[3]{x}=(1+u)^{1/3}=1+\tfrac{1}{3}u+\frac{\tfrac{1}{3}(\tfrac{1}{3}-1)}{2}u^2+o(u^2) =1+\tfrac{1}{3}u-\tfrac{1}{9}u^2+o(u^2).
Logo
1-\sqrt[3]{x}=-\tfrac{1}{3}u+\tfrac{1}{9}u^2+o(u^2).

Passo 5

Agora precisamos das recíprocas \dfrac{1}{1-\sqrt{x}} e \dfrac{1}{1-\sqrt[3]{x}}. Para uma quantidade pequena v com expansão v = a u + b u^2 + o(u^2) (aqui a\neq0), a recíproca tem expansão
\frac{1}{v}=\frac{1}{a u}\cdot\frac{1}{1+\frac{b}{a}u+o(u)}=\frac{1}{a u}\left(1-\frac{b}{a}u+o(u)\right) =\frac{1}{a u}-\frac{b}{a^2}+o(1).
Vamos aplicar essa fórmula aos casos acima, lembrando que os sinais dos a são negativos (pois 1-\sqrt{x} e 1-\sqrt[3]{x} começam por termos -\alpha u).

Passo 6

Aplicar a fórmula ao caso da raiz quadrada:
Aqui 1-\sqrt{x}=-\tfrac{1}{2}u+\tfrac{1}{8}u^2+o(u^2), então a=-\tfrac{1}{2} e b=\tfrac{1}{8}. Assim
\frac{1}{1-\sqrt{x}}=\frac{1}{a u}-\frac{b}{a^2}+o(1) =\frac{1}{-\tfrac{1}{2}u}-\frac{\tfrac{1}{8}}{(\!- \tfrac{1}{2})^2}+o(1).
Calcule os termos:
\frac{1}{-\tfrac{1}{2}u}=-\frac{2}{u}, \qquad \frac{\tfrac{1}{8}}{(\tfrac{1}{4})}=\frac{1}{8}\cdot 4=\tfrac{1}{2}.
Como há o sinal negativo na fórmula, temos
\frac{1}{1-\sqrt{x}}=-\frac{2}{u}-\frac{1}{2}+o(1).
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} da expressão original:
\frac{1}{2(1-\sqrt{x})}=-\frac{1}{u}-\frac{1}{4}+o(1).

Passo 7

Aplicar a fórmula ao caso da raiz cúbica:
Aqui 1-\sqrt[3]{x}=-\tfrac{1}{3}u+\tfrac{1}{9}u^2+o(u^2), então a=-\tfrac{1}{3} e b=\tfrac{1}{9}. Assim
\frac{1}{1-\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{-\tfrac{1}{3}u}-\frac{\tfrac{1}{9}}{(\!- \tfrac{1}{3})^2}+o(1).
Calcule os termos:
\frac{1}{-\tfrac{1}{3}u}=-\frac{3}{u}, \qquad \frac{\tfrac{1}{9}}{(\tfrac{1}{9})}=1.
Portanto
\frac{1}{1-\sqrt[3]{x}}=-\frac{3}{u}-1+o(1).
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3} da expressão original:
\frac{1}{3(1-\sqrt[3]{x})}=-\frac{1}{u}-\frac{1}{3}+o(1).

Passo 8

Agora subtrair as duas parcelas usando as expansões obtidas:
\frac{1}{2(1-\sqrt{x})}-\frac{1}{3(1-\sqrt[3]{x})} =\Bigl(-\frac{1}{u}-\frac{1}{4}+o(1)\Bigr)-\Bigl(-\frac{1}{u}-\frac{1}{3}+o(1)\Bigr).
Os termos singulares -\frac{1}{u} cancelam, sobrando
-\frac{1}{4}-\bigl(-\frac{1}{3}\bigr)+o(1)= -\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+o(1)=\frac{1}{12}+o(1).
Tomando u\to0 (ou seja, x\to1) o o(1) some e o limite é \dfrac{1}{12}.

Passo 9

Interpretação final: o cancelamento das partes que divergem mostrou que o limite existe e é o valor constante que sobrou das expansões de segunda ordem.

Resposta

(C) \dfrac{1}{12}

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