Calcule e justifique os seguintes limites:
lim x x0(an x^n+an-1 x^n-1+cdots+a1 x+a0);

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de um polinômio qualquer
P(x)=an x^n + an-1 x^n-1 + cdots + a1 x + a0 quando x se aproxima de um ponto x0. Isso envolve o conteúdo de limites de funções polinomiais e o uso das propriedades de limite de soma, produto e potência.

Passo 2

Sabemos que polinômios são funções contínuas, mas vamos justificar usando propriedades de limite. Primeiro, pela propriedade de limite de potência, temos
limxto x0 x^k = x0^k
para qualquer inteiro k. Em seguida, pela propriedade de limite de constante vezes função,
limxto x0 ak x^k = ak cdot limxto x0 x^k = ak x0^k

Passo 3

Agora usamos a propriedade de limite da soma: o limite de uma soma é a soma dos limites. Assim,
$$
\lim_{x\to x_0} \bigl(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\bigr)

\sum_{k=0}^n \lim_{x\to x_0} a_k x^k.
$$

Passo 4

Substituindo cada limxto x0 ak x^k = ak x0^k na soma, concluímos que
limxto x0 P(x) = an x0^n + an-1 x0^n-1 + cdots + a1 x0 + a0

Resposta

limxto x0l(an x^n + an-1 x^n-1 + cdots + a1 x + a0r) = sumk=0^n ak x0^k

Exercícios relacionados