Calcule e justifique os seguintes limites:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de um polinômio qualquer
quando
se aproxima de um ponto
. Isso envolve o conteúdo de limites de funções polinomiais e o uso das propriedades de limite de soma, produto e potência.
Passo 2
Sabemos que polinômios são funções contínuas, mas vamos justificar usando propriedades de limite. Primeiro, pela propriedade de limite de potência, temos
para qualquer inteiro
. Em seguida, pela propriedade de limite de constante vezes função,
Passo 3
Agora usamos a propriedade de limite da soma: o limite de uma soma é a soma dos limites. Assim,
$$
\lim_{x\to x_0} \bigl(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\bigr)
\sum_{k=0}^n \lim_{x\to x_0} a_k x^k.
$$
Passo 4
Substituindo cada
na soma, concluímos que