Calcule e justifique os seguintes limites:
lim x 0 f(x), onde f: R R é definida por
f(x)= 2 x+1, & se x neq 0 0, & se x=0

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite de uma função quando $ x $ se aproxima de 0. A função $ f(x) $ é definida de duas maneiras diferentes: para qualquer $ x $ que não seja zero, ela é igual a $ 2x + 1 $, e quando $ x $ é exatamente zero, $ f(x) $ é igual a 0. A matéria que vamos usar aqui é o conceito de limites, que nos ajuda a entender o comportamento da função perto de um ponto específico, nesse caso, perto de $ x = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um limite. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 nos diz para qual valor $ f(x) $ está tendendo à medida que $ x $ fica mais e mais próximo de 0, mas sem necessariamente ser igual a 0. Isso é importante porque o valor da função exatamente em $ x = 0 $ pode ser diferente do que ela está “indo” para lá.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a definição de $ f(x) $ quando $ x $ não é zero, que é $ 2x + 1 $. Para calcular o limite, vamos usar essa parte da função, já que estamos interessados no comportamento perto de $ x = 0 $, mas não exatamente em $ x = 0 $.

Passo 4

Vamos substituir $ x $ por valores muito próximos de 0 na expressão $ 2x + 1 $. Por exemplo, se $ x = 0.1 $, temos $ 2(0.1) + 1 = 1.2 $. Se $ x = 0.01 $, temos $ 2(0.01) + 1 = 1.02 $. Vemos que, conforme $ x $ se aproxima de 0, o valor de $ f(x) $ está se aproximando de 1.

Passo 5

Matematicamente, podemos escrever isso como:
limx to 0 (2x + 1) = 1
Isso significa que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 é igual a 1.

Resposta

Portanto, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 é 1.

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