Prove via varepsilon-de que:
lim x -5 1=1;

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição ε-δ de limite, que a função constante f(x)=1 satisfaz lim_{x→−5} f(x) = 1. Este é um exercício de limites de funções e de aplicação direta da definição formal de limite.

Passo 2

Relembrando a definição formal: dizemos que lim_{x→a} f(x) = L se, para todo ε>0, existe δ>0 tal que, sempre que 0<|x−a|<δ, a desigualdade |f(x)−L|<ε ocorre.

Passo 3

Aqui temos f(x)=1 e L=1. Calculamos a diferença:
|f(x)−L| = |1−1| = 0

Passo 4

Perceba que 0 é sempre menor que qualquer ε>0. Logo, não há restrição sobre x além de 0<|x+5|<δ. Podemos, por exemplo, escolher δ=1 (ou qualquer outro número positivo). Assim, sempre que 0<|x+5|<δ, teremos
|f(x)−1| = 0 < ε

Passo 5

Portanto, para todo ε>0 basta tomar δ=1 (ou qualquer δ>0) para garantir |f(x)−1|<ε sempre que 0<|x+5|<δ. Isso prova que lim_{x→−5} 1 = 1.

Resposta

Como |1−1|=0<ε para todo ε>0, basta escolher qualquer δ>0 (por exemplo δ=1). Logo lim_{x→−5}1 = 1.

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