Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada inversa de Laplace da função
. Para isso, vamos usar conceitos de transformadas de Laplace, especialmente a parte que lida com frações racionais e como transformá-las de volta para o domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar o denominador da fração num formato que a gente reconheça facilmente. Observe que
pode ser completado o quadrado. Para completar o quadrado, pegamos os coeficientes de
:
Assim, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, vamos reescrever o numerador de um jeito que facilite a aplicação da transformada inversa. Queremos que o numerador seja algo como
, onde
é o número que aparece no termo
. Vamos lá:
Então, a fração fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar as fórmulas da transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
e
No nosso caso,
e
(já que
).
Passo 5
Aplicando essas fórmulas à nossa expressão:
e
Então, juntando tudo: