Calcule L^-13 s+5s^2-6 s+25.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada inversa de Laplace da função 3s + 5s^2 - 6s + 25. Para isso, vamos usar conceitos de transformadas de Laplace, especialmente a parte que lida com frações racionais e como transformá-las de volta para o domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar o denominador da fração num formato que a gente reconheça facilmente. Observe que s^2 - 6s + 25 pode ser completado o quadrado. Para completar o quadrado, pegamos os coeficientes de s:
s^2 - 6s + 25 = (s^2 - 6s + 9) + 16 = (s - 3)^2 + 16
Assim, a expressão original fica:
3s + 5(s - 3)^2 + 16

Passo 3

Agora, vamos reescrever o numerador de um jeito que facilite a aplicação da transformada inversa. Queremos que o numerador seja algo como A(s - a) + B, onde a é o número que aparece no termo (s - 3). Vamos lá:
3s + 5 = 3(s - 3) + 14
Então, a fração fica:
3(s - 3) + 14(s - 3)^2 + 16 = 3(s - 3)(s - 3)^2 + 16 + 14(s - 3)^2 + 16

Passo 4

Agora, vamos aplicar as fórmulas da transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
L^-1s - a(s - a)^2 + omega^2 = e^at cos(omega t)
e
L^-1omega(s - a)^2 + omega^2 = e^at sin(omega t)
No nosso caso, a = 3 e omega = 4 (já que 16 = 4^2).

Passo 5

Aplicando essas fórmulas à nossa expressão:
L^-13(s - 3)(s - 3)^2 + 16 = 3e^3t cos(4t)
e
L^-114(s - 3)^2 + 16 = 144 e^3t sin(4t) = 72 e^3t sin(4t)
Então, juntando tudo:

Resposta

L^-13s + 5s^2 - 6s + 25 = e^3t (3 cos(4t) + 72 sin(4t))

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