Nos itens abaixo, determine as funções f circ g, g circ f, f circ f e g circ g e seus domínios.
f(x)=x^2 e g(x)=raizx-3.

Passo 1

Resumo: a questão dá as funções f(x)=x^2 e g(x)=raizx-3. Precisamos determinar as composições fcirc g, gcirc f, fcirc f e gcirc g e seus domínios. Vamos usar a definição de composição de funções e a regra de domínio de hcirc k: vale apenas para os x que estão no domínio de k e tais que k(x) esteja no domínio de h.

Passo 2

Para fcirc g, primeiro aplicamos g e depois f:
(fcirc g)(x)=f(g(x))=(raizx-3)^2=x-3
O domínio exige x-3>=0, ou seja x>=3. Como f aceita todos os reais, não há mais restrição. Logo Dom(fcirc g)=[3,infty).

Passo 3

Para gcirc f, aplicamos f antes e g depois:
(gcirc f)(x)=g(f(x))=raizx^2-3
Aqui x deve estar em R e satisfazer x^2-3>=0, ou seja x^2>=3 x<=-raiz3 ou x>=raiz3. Assim Dom(gcirc f)=(-infty,-raiz3]cup[raiz3,infty).

Passo 4

Para fcirc f, aplicamos f duas vezes:
(fcirc f)(x)=f(x^2)=(x^2)^2=x^4
Como o domínio de f é R e não há nova restrição, temos Dom(fcirc f)=R.

Passo 5

Para gcirc g, fazemos g duas vezes:
(gcirc g)(x)=g(raizx-3)=raizraizx-3-3
Primeiro precisamos de x-3>=0 x>=3. Depois a raiz externa exige raizx-3-3>=0 raizx-3>=3 x-3>=9 x>=12. Combinando, Dom(gcirc g)=[12,infty).

Resposta

f\circ g(x)=x-3, Dom(fcirc g)=[3,infty); g\circ f(x)=\sqrt{x^2-3}, Dom(gcirc f)=(-infty,-raiz3]cup[raiz3,infty); f\circ f(x)=x^4, Dom(fcirc f)=R; g\circ g(x)=\sqrt{\sqrt{x-3}-3}, Dom(gcirc g)=[12,infty).

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