Calcule as seguintes transformadas:
(xii) L[3 cos 2 t-t e^5 t]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=3\cos(2t) - t e^{5t}. O conteúdo aqui é transformada de Laplace, e vamos precisar de duas coisas: a linearidade da transformada e as fórmulas básicas L[\cos(ωt)] e L[t,e^{at}].

Passo 2

Pela linearidade temos: L[3\cos(2t) - t e^{5t}] = 3,L[\cos(2t)] - L[t,e^{5t}].

Passo 3

Para L[\cos(2t)] lembramos que L[\cos(ωt)] = \displaystyle \frac{s}{s^2 + ω^2}. Aqui ω=2, logo L[\cos(2t)] = \displaystyle \frac{s}{s^2 + 4}. Multiplicando por 3 dá 3,\frac{s}{s^2 + 4}.
Para L[t,e^{5t}] usamos a propriedade de deslocamento e a regra L[t] = 1/s^2. Em geral L[t,e^{at}] = \displaystyle \frac{1}{(s - a)^2}. Com a = 5, obtemos L[t,e^{5t}] = \displaystyle \frac{1}{(s - 5)^2}.

Passo 4

Agora é só juntar os resultados: 3,\frac{s}{s^2 + 4} menos \frac{1}{(s - 5)^2}.

Resposta

L[3\cos(2t) - t e^{5t}] = 3,\frac{s}{s^2 + 4} - \frac{1}{(s - 5)^2}

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