Calcule L^-1[F(s)], sendo:
(e) F(s)=3 s-9s^3+9 s

Passo 1

Temos a função F(s)=3s-9s^3+9s. O conteúdo é transformada inversa de Laplace, e vamos precisar usar frações parciais para separar F(s) em termos cujas transformadas inversas a gente já conhece.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador: s^3+9s = s(s^2+9). Daí a gente supõe a decomposição
3s-9s(s^2+9) = As + Bs + Cs^2+9
Multiplicando ambos os lados por s(s^2+9) e igualando coeficientes, vem
$$
3s - 9 = A(s^2+9) + (Bs+C)s = (A+B)s^2 + Cs + 9A.
$$

Passo 3

Igualando coeficientes de potências de s:
  • Para s^2: A+B=0 B=-A.
  • Para s: C=3.
  • Para termo constante: 9A=-9 A=-1, daí B=1.

Passo 4

Então
F(s) = -1s + s+3s^2+9 = -1s + ss^2+9 + 3s^2+9

Passo 5

Agora é só usar transformadas inversas conhecidas:
  • L^-1l(-1/sr) = -1.
  • L^-1l(s/(s^2+9)r) = cos(3t).
  • L^-1l(3/(s^2+9)r) = sin(3t).

Resposta

f(t)= -1 + cos(3t) + sin(3t)

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