Nos Exercícios 23-34, encontre fx, fy e fz
f(x, y, z)=e^-(x^2+y^2+z^2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais fx, fy e fz da função f(x,y,z)=e^-(x^2+y^2+z^2). O conteúdo envolvido é derivadas parciais em funções de várias variáveis e vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular fx, definimos u(x,y,z)=-(x^2+y^2+z^2), de modo que f=e^u. Primeiro, derivamos u em relação a x:
ux=partialpartial xl(-(x^2+y^2+z^2)r)=-2x
Em seguida, aplicamos a regra da cadeia:
fx=partialpartial xe^u=e^ucdot ux=-2x,e^u=-2x,e^-(x^2+y^2+z^2)

Passo 3

Para calcular fy, usamos o mesmo u(x,y,z)=-(x^2+y^2+z^2). Derivando u em relação a y temos:
uy=-2y
Logo:
fy=e^ucdot uy=-2y,e^u=-2y,e^-(x^2+y^2+z^2)

Passo 4

Para calcular fz, seguimos idêntico raciocínio. Derivando u em relação a z:
uz=-2z
Portanto:
fz=e^ucdot uz=-2z,e^u=-2z,e^-(x^2+y^2+z^2)

Resposta

f_x = -2x,e{-(x2+y2+z2)},\quad f_y = -2y,e{-(x2+y2+z2)},\quad f_z = -2z,e{-(x2+y2+z2)}

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