OBS: 1. Não usar LHopital - os limites devem ser calculados por manipulação algébrica.
2. Não usar regras de derivação. As derivadas devem ser determinadas pela definição.
3. Serão considerados como limites fundamentais apenas os do formulário. Qualquer outro limite que for utilizado deverá ser calculado.
(1,5) Determine o domínio e verifique se a função f(x)=tg(x)-sen(x)x^3 apresenta assíntota vertical.

Passo 1

O problema pede para encontrar o domínio de f(x)= e verificar se existe assíntota vertical. Vamos usar manipulação algébrica e limites fundamentais sem recorrer a L’Hôpital.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos duas fontes de indeterminação: o denominador x^3 e a função .
O denominador exige tg(x)=sin(x)cos(x). Além disso, não está definida quando xneq0, ou seja, tg(x), cos(x)=0. Assim o domínio de definição é x=pi2+kpi.

Passo 3

Para verificar se em x=0 há assíntota vertical, calculamos . Começamos escrevendo
e notamos que
limxto0tg(x)-sin(x)x^3
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Passo 4

Usamos os limites fundamentais limxto0sin(x)x=1 e limxto01-cos(x)x^2=12. Com isso
limxto0sin(x),(1-cos(x))x^3cos(x) =limxto0sin(x)xcdot1-cos(x)x^2cdotxcos(x) =1cdot12cdot0=12

Passo 5

O resultado é finito ( 1/2), logo não há assíntota vertical em x=0: é apenas um ponto de descontinuidade removível.

Passo 6

Resta verificar os pontos onde cos(x)=0, isto é, x0=pi2+kpi. Perto de x0, e tg(x)topminfty fica finito ( sin(x)). Assim o numerador tende a infinito enquanto o denominador pm1 é finito e diferente de zero, implicando
x^3
portanto existe assíntota vertical em todo limxto x0f(x)=pminfty, , x=pi2+kpi.

Resposta

Domínio: Rsetminus0,,tfracpi2+kpi. Há assíntotas verticais em x=tfracpi2+kpi, kinZ.

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