Responda a cada uma das perguntas abaixo.
© Esboce a forma geral do gráfico da função exponencial no caso
e no caso
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© Esboce a forma geral do gráfico da função exponencial no caso
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função exponencial f(x)=a^x em dois casos: quando a>1 e quando 0<a<1. O conteúdo aqui é o comportamento qualitativo da função exponencial, e vamos precisar usar fatos sobre seu intercepto, monotonicidade e assíntota.
Passo 2
Para a>1 a função f(x)=a^x satisfaz f(0)=1 e cresce pois sua derivada f’(x)=a^x·ln(a) é positiva (
abla ln(a)>0
abla). Como x→−∞, f(x)→0 (assíntota horizontal y=0); como x→+∞, f(x)→+∞. Assim o gráfico passa por (0,1), sobe à direita e aproxima-se de y=0 à esquerda.
abla ln(a)>0
abla). Como x→−∞, f(x)→0 (assíntota horizontal y=0); como x→+∞, f(x)→+∞. Assim o gráfico passa por (0,1), sobe à direita e aproxima-se de y=0 à esquerda.
Passo 3
Para 0<a<1 a função f(x)=a^x também satisfaz f(0)=1 mas agora ln(a)<0, logo f’(x)=a^x·ln(a)<0 e a curva é decrescente. À direita (x→+∞), f(x)→0; à esquerda (x→−∞), f(x)→+∞. Também há assíntota y=0 e intercepto em (0,1).
Passo 4
Para esboçar, desenhe eixos x e y, trace a reta horizontal y=0 como assíntota, marque o ponto (0,1), e então desenhe uma curva suave crescente para a>1 e uma curva suave decrescente para 0<a<1, respeitando os limites nos extremos.
Resposta
Para a>1: gráfico crescente que passa por (0,1), aproxima-se de y=0 para x→−∞ e cresce sem limite para x→+∞.
Para 0<a<1: gráfico decrescente que passa por (0,1), aproxima-se de y=0 para x→+∞ e cresce sem limite para x→−∞.