Mostre que, se f é 2 -periódica e f(t)= 1, & se 0 então L[f(t)]=1s tgh s2.

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período T=2 que vale 1 em (0,1) e –1 em (1,2). Queremos achar a transformada de Laplace Lf(t). Para isso vamos usar o conceito de transformada de função periódica.

Passo 2

Para funções periódicas de período T, a transformada de Laplace é dada por
Lf(t) = 11 - e^-sT integral0^T e^-st ,f(t),dt
Aqui temos T=2.

Passo 3

Precisamos calcular a integral num período
I = integral0^2 e^-st,f(t),dt = integral0^1 e^-st,dt ;- integral1^2 e^-st,dt
A primeira integral é
integral0^1 e^-st dt = 1 - e^-ss,
e a segunda é
integral1^2 e^-st dt = [ -1se^-st ]1^2 = e^-s - e^-2ss

Passo 4

Subtraindo-as, obtemos
I = 1 - e^-ss - e^-s - e^-2ss = 1 - 2e^-s + e^-2ss = (1 - e^-s)^2s

Passo 5

Substituindo I na fórmula da transformada periódica
Lf(t) = 11 - e^-2s cdot (1 - e^-s)^2s = (1 - e^-s)^2s,(1 - e^-s)(1 + e^-s) = 1 - e^-ss,(1 + e^-s)
Agora usamos as definições de senh e cosh:
1 - e^-s = e^s/2(e^-s/2 - e^-3s/2) = 2,e^-s/2 sinhl(s2r),
e
1 + e^-s = 2,e^-s/2 coshl(s2r)
Portanto
Lf(t) = 2,e^-s/2sinhl(s2r)s,2,e^-s/2coshl(s2r) = 1s tanhl(s2r)

Passo 6

Mostramos então que a transformada de Laplace da função periódica é 1stanhl(s2r).

Resposta

1stanhl(s2r)

Exercícios relacionados