Mostre que, se f é 2 -periódica e
então
.
Passo 1
O enunciado define uma função periódica de período T=2 que vale 1 em (0,1) e –1 em (1,2). Queremos achar a transformada de Laplace
. Para isso vamos usar o conceito de transformada de função periódica.
Passo 2
Para funções periódicas de período
, a transformada de Laplace é dada por
Aqui temos
.
Passo 3
Precisamos calcular a integral num período
A primeira integral é
e a segunda é
Passo 4
Subtraindo-as, obtemos
Passo 5
Substituindo
na fórmula da transformada periódica
Agora usamos as definições de senh e cosh:
e
Portanto
Passo 6
Mostramos então que a transformada de Laplace da função periódica é
.