Calcule
, sendo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a transformada inversa de Laplace de
. Isso faz parte da matéria de transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar usar frações parciais e algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
. Observamos que o denominador pode ser fatorado, então vamos fazer isso:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos escrever
como a soma de duas frações simples:
Aqui,
e
são constantes que vamos descobrir.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador
para eliminar as frações, temos:
Agora, vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
Passo 5
Primeiro, vamos escolher
:
Agora, escolhemos
:
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, podemos escrever:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
Então, aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
A transformada inversa de
é: