Calcule L^-1[F(s)], sendo:
F(s)=3 s+15s^2+3 s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a transformada inversa de Laplace de F(s) = 3 s + 15s^2 + 3 s. Isso faz parte da matéria de transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar usar frações parciais e algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de F(s). Observamos que o denominador pode ser fatorado, então vamos fazer isso:
s^2 + 3 s = s(s + 3)
Então, a expressão fica:
F(s) = 3 s + 15s(s + 3)

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos escrever F(s) como a soma de duas frações simples:
3 s + 15s(s + 3) = As + Bs + 3
Aqui, A e B são constantes que vamos descobrir.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador s(s + 3) para eliminar as frações, temos:
3 s + 15 = A(s + 3) + B s
Agora, vamos resolver para A e B. Podemos escolher valores de s que simplifiquem a equação.

Passo 5

Primeiro, vamos escolher s = 0:
3(0) + 15 = A(0 + 3) + B(0) 15 = 3A A = 5
Agora, escolhemos s = -3:
3(-3) + 15 = A(-3 + 3) + B(-3) -9 + 15 = 0 + (-3)B 6 = -3B B = -2

Passo 6

Com os valores de A e B encontrados, podemos escrever:
F(s) = 5s - 2s + 3

Passo 7

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-1[1s] = 1 L^-1[1s + a] = e^-a t
Então, aplicando isso aos nossos termos:
L^-1[5s] = 5 L^-1[-2s + 3] = -2 e^-3 t

Resposta

A transformada inversa de F(s) é:
L^-1[F(s)] = 5 - 2 e^-3 t

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