Calcule
, sendo
o paralelogramo em
limitado pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral dupla de $ 3x^{2} + 14xy + 8y^{2} $ sobre a região $ D $, que é um paralelogramo limitado pelas retas $ 3x + 2y = 2 $, $ 3x + 2y = 6 $, $ x + 4y = 0 $ e $ x + 4y = 4 $. Para isso, vamos usar mudança de variáveis para simplificar a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as direções das retas que limitam o paralelogramo. As retas $ 3x + 2y = 2 $ e $ 3x + 2y = 6 $ são paralelas, assim como $ x + 4y = 0 $ e $ x + 4y = 4 $. Isso nos indica que podemos fazer uma mudança de variáveis para transformar essas retas em retas paralelas aos eixos $ u $ e $ v $.
Passo 3
Vamos definir as novas variáveis $ u $ e $ v $ como:
Com essa transformação, as retas que delimitam $ D $ ficam mais fáceis de tratar:
Ou seja, na nova coordenada, $ u $ varia de 2 a 6 e $ v $ de 0 a 4.
Passo 4
Agora, precisamos expressar $ x $ e $ y $ em função de $ u $ e $ v $. Temos o sistema:
Para resolver esse sistema, vamos isolar $ x $ e $ y $. Multiplicando a segunda equação por 2:
Subtraindo da primeira equação:
Mas isso pode ser complicado, então melhor resolver diretamente pelo método de substituição ou matriz. Resolvendo o sistema, encontramos:
Passo 5
Vamos calcular o determinante jacobiano da mudança de variáveis. A matriz jacobiana $ J $ é dada por:
O determinante é:
Passo 6
Agora, reescrevemos a função integranda $ 3x^{2} + 14xy + 8y^{2} $ em termos de $ u $ e $ v $:
Substituindo:
Após simplificar, encontramos uma expressão mais simples em termos de $ u $ e $ v $.
Passo 7
A integral dupla transformada fica:
Calculando essa integral, obtemos o valor final.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, a integral dupla vale $ \boxed{ \frac{88}{5} } $.