Encontre a solução de cada PVI:
ly^prime prime+4 y=0 y(0)=2, y^prime(0)=6

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, junto com condições iniciais em 0: y''+4y=0, y(0)=2 e y'(0)=6. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada substituindo ysim e^rx:
r^2 + 4 = 0
Resolvendo, temos as raízes complexas r=pm 2i.

Passo 3

Como as raízes são r=pm 2i, a solução geral da EDO é dada por combinação de cosseno e seno:
y(x)=C1cos(2x)+C2sin(2x)

Passo 4

Para determinar C1 e C2, calculamos y' e aplicamos as condições iniciais. Primeiro, derivando:
y'(x)=-2C1sin(2x)+2C2cos(2x)
Em x=0:
  • y(0)=C1=2
  • y'(0)=2C2=6
    Logo C1=2 e C2=3.

Passo 5

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução do PVI:

Resposta

y(x)=2cos(2x)+3sin(2x)

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