Encontre a solução de cada PVI:
ly^prime prime-3 y^prime+2 y=20 sen t y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

Temos o problema de valor inicial dado por
y'' - 3y' + 2y = 20sin t, y(0)=0,;y'(0)=0
Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante 20sin t.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea associada:
A equação característica é
r^2 - 3r + 2 = 0,
cuja solução é r = 1 ou r = 2. Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 e^2t

Passo 3

Para achar uma solução particular yp, usamos o método dos coeficientes a determinar. Fazemos o palpite
yp = Acos t + Bsin t
Então
yp' = -Asin t + Bcos t,
yp'' = -Acos t - Bsin t
Substituindo em y'' - 3y' + 2y:
yp'' - 3yp' + 2yp = (-Acos t - Bsin t) - 3(-Asin t + Bcos t) + 2(Acos t + Bsin t)
Agrupando termos:
= (A - 3B)cos t + (3A + B)sin t
Queremos isso igual a 20sin t, então
A - 3B = 0, 3A + B = 20
Daí B=2 e A=6, logo
yp = 6cos t + 2sin t

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma das partes homogênea e particular:
y(t) = C1 e^t + C2 e^2t + 6cos t + 2sin t

Passo 5

Para determinar C1 e C2, computamos
y'(t) = C1 e^t + 2C2 e^2t - 6sin t + 2cos t,
e aplicamos as condições iniciais em t=0:
y(0)=C1 + C2 + 6 = 0, y'(0)=C1 + 2C2 + 2 = 0
Resolvendo, obtemos C2 = 4 e C1 = -10.

Resposta

y(t) = -10e^t + 4e^2t + 6cos t + 2sin t

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