Calcule :
L\{4 \cos 3 t-5 \operatorname{sen} 2 t\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função \r
\,f(t)=4\cos(3t)-5\operatorname{sen}(2t). \r
O conteúdo envolvido é a propriedade de linearidade da transformada de Laplace e as fórmulas padrão \r
\mathcal L\{\cos(at)\} e \mathcal L\{\operatorname{sen}(bt)\}.

Passo 2

Vamos lembrar das transformadas básicas: \r
\displaystyle \mathcal L\{\cos(at)\} = \frac{s}{s^{2}+a^{2}} e \r
\displaystyle \mathcal L\{\operatorname{sen}(bt)\} = \frac{b}{s^{2}+b^{2}}. \r
Além disso, a transformada de Laplace é linear, ou seja, \r
\mathcal L\{\alpha\,g(t)+\beta\,h(t)\} = \alpha\,\mathcal L\{g(t)\} + \beta\,\mathcal L\{h(t)\}.

Passo 3

Aplicando a linearidade termo a termo:\r
  • Para 4\cos(3t): \r
    \displaystyle \mathcal L\{4\cos(3t)\} = 4\;\mathcal L\{\cos(3t)\} = 4\;\frac{s}{s^{2}+3^{2}} = \frac{4s}{s^{2}+9}.\r
  • Para -5\operatorname{sen}(2t): \r
    \displaystyle \mathcal L\{-5\operatorname{sen}(2t)\} = -5\;\mathcal L\{\operatorname{sen}(2t)\} = -5\;\frac{2}{s^{2}+2^{2}} = -\frac{10}{s^{2}+4}.

Passo 4

Somando os resultados dos dois termos, obtemos \r
\mathcal L\{4\cos(3t)-5\operatorname{sen}(2t)\} = \frac{4s}{s^{2}+9} \;-\; \frac{10}{s^{2}+4}.

Resposta

\displaystyle \frac{4s}{s^{2}+9} \;-\; \frac{10}{s^{2}+4}

Exercícios relacionados