Derive a função.
f(x)=\left(x^{2}+\sqrt{x}\right) 3^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(x^{2} + \sqrt{x}\bigr)\,3^{x}.
O conteúdo principal aqui é a regra do produto e as derivadas de potência e exponencial de base diferente de e.

Passo 2

Definimos
u(x) = x^2 + \sqrt{x}
e
v(x) = 3^x.
Para u(x), usamos a soma de funções. A derivada de x^2 é 2x e de \sqrt{x}=x^{1/2} é
\frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac12\,x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Logo
u'(x) = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Para v(x)=3^x, lembramos que
\frac{d}{dx}a^x = a^x\ln(a).
Aqui a=3, então
v'(x) = 3^x\ln(3).

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u, u', v e v', obtemos
f'(x) = \Bigl(2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr)\,3^x + \bigl(x^2 + \sqrt{x}\bigr)\,3^x\ln(3).

Passo 5

Para simplificar, podemos fatorar 3^x:
f'(x) = 3^x\Bigl[\,2x + \frac{1}{2\sqrt{x}} + \bigl(x^2 + \sqrt{x}\bigr)\ln(3)\Bigr].

Resposta

f'(x) = \Bigl(2x + \tfrac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr)\,3^x + \bigl(x^2 + \sqrt{x}\bigr)\,3^x\ln(3).
ou, de forma fatorada,
f'(x) = 3^x\Bigl[2x + \tfrac{1}{2\sqrt{x}} + (x^2 + \sqrt{x})\ln(3)\Bigr].

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