Calcule:
l) integral0^+infty e^-x x^n d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o seguinte problema: calcular a integral de de 0 até o infinito. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem funções exponenciais e potências, e vamos precisar entender um pouco sobre a função gama para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos calcular. A integral que temos é:
integral0^+infty e^-x x^n , dx
Isso significa que queremos a área sob a curva de de 0 até o infinito.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos utilizar a função gama, que é uma generalização do fatorial para números reais. A função gama é definida por:
Gamma(z) = integral0^+infty e^-x x^z-1 , dx
Comparando com a nossa integral, observamos que:
Gamma(n+1) = integral0^+infty e^-x x^n , dx

Passo 4

Sabemos que para números inteiros positivos, a função gama se relaciona com o fatorial da seguinte forma:
Gamma(n+1) = n!
Ou seja, é igual a , onde representa o fatorial de .

Passo 5

Aplicando essa relação na nossa integral, temos:
integral0^+infty e^-x x^n , dx = Gamma(n+1) = n!

Resposta

A integral é igual a .

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