Verifique se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
f)
f)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a integral
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, como o teste de convergência de integrais impróprias.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento da função integranda para valores de
muito grandes, tanto positivos quanto negativos. Isso nos ajuda a entender se a área sob a curva é finita (convergente) ou infinita (divergente).
Passo 3
Olhemos para a expressão principal da integranda:
Para grandes valores de
, os termos constantes (como 3 e 1) se tornam menos relevantes. Então, aproximamos:
Assim, a expressão simplifica para:
Passo 4
Agora, consideramos que
é uma função que oscila entre 0 e 1 para todo
. Isso significa que:
Portanto, a integranda original pode ser estimada por:
Passo 5
Para testar a convergência da integral, comparamos com a integral de
:
Sabemos que a integral
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1, então a integral comparativa converge.
Passo 6
Como a nossa integranda original está limitada acima por uma função cuja integral converge, e é não-negativa, pelo Teste da Comparação a integral original também converge.
Resposta
A integral
é convergente.