Verifique se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
f) integral-infty^+infty (x^2+3)^3 / 2 sen^2(x)(x^4+1)^3 / 2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a integral
integral-infty^+infty (x^2+3)^3/2 cdot sin^2(x)(x^4+1)^3/2 , dx
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, como o teste de convergência de integrais impróprias.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento da função integranda para valores de muito grandes, tanto positivos quanto negativos. Isso nos ajuda a entender se a área sob a curva é finita (convergente) ou infinita (divergente).

Passo 3

Olhemos para a expressão principal da integranda:
(x^2+3)^3/2(x^4+1)^3/2
Para grandes valores de (x^2+3)^3/2 approx x^3, (x^4+1)^3/2 approx x^6 , os termos constantes (como 3 e 1) se tornam menos relevantes. Então, aproximamos:
x^3x^6 = 1x^3
Assim, a expressão simplifica para:

Passo 4

Agora, consideramos que 0 <= sin^2(x) <= 1 é uma função que oscila entre 0 e 1 para todo 0 <= (x^2+3)^3/2 cdot sin^2(x)(x^4+1)^3/2 <= 1x^3 . Isso significa que:
Portanto, a integranda original pode ser estimada por:

Passo 5

Para testar a convergência da integral, comparamos com a integral de integral1^+infty 1x^3 , dx :
Sabemos que a integral converge se . No nosso caso, , que é maior que 1, então a integral comparativa converge.

Passo 6

Como a nossa integranda original está limitada acima por uma função cuja integral converge, e é não-negativa, pelo Teste da Comparação a integral original também converge.

Resposta

A integral
integral-infty^+infty (x^2+3)^3/2 cdot sin^2(x)(x^4+1)^3/2 , dx
é convergente.

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