Calcule a integral.
integral sen^6 x cos ^3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin^6x,cos^3x,dx. O conteúdo envolve integração de potências de funções trigonométricas e vamos precisar usar a identidade cos^2x=1-sin^2x e o método de substituição.

Passo 2

Observamos que cos^3x=cos^2xcdotcos x=(1-sin^2x),cos x. Assim a integral vira
integral sin^6x,cos^3x,dx=integral sin^6x,(1-sin^2x),cos x,dx

Passo 3

Fazemos a substituição u=sin x, logo du=cos x,dx. A integral em x passa a ser em u:
integral sin^6x,(1-sin^2x),cos x,dx=integral u^6(1-u^2),du

Passo 4

Expandindo o integrando:
integral u^6(1-u^2),du=integral (u^6 - u^8),du

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral u^6,du=u^77, integral u^8,du=u^99

Passo 6

Logo a primitiva em u é
u^77-u^99+C

Passo 7

Voltando a x com u=sin x, obtemos a resposta final.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin7x}{7}-\frac{\sin9x}{9}+C

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