Calcule :
L^{-1}\left\{\frac{1}{s}-\frac{1}{s+3}-\frac{2}{(s+2)^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s}-\frac{1}{s+3}-\frac{2}{(s+2)^{2}}\Bigr\}.
O conteúdo é transformada inversa de Laplace, usando a linearidade e as fórmulas da tabela:
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1,
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t} e
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+a)^{2}}\}=t\,e^{-a t}.

Passo 2

Aplicando a propriedade da linearidade, escrevemos
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\} -\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+3}\} -2\,\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+2)^{2}}\}.

Passo 3

Da tabela, temos
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1
e
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+3}\}=e^{-3t}.

Passo 4

Também da tabela,
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+2)^{2}}\}=t\,e^{-2t},
então
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{2}{(s+2)^{2}}\}=2\,t\,e^{-2t}.

Passo 5

Somando os resultados, obtemos
f(t)=1 - e^{-3t} - 2\,t\,e^{-2t}.

Resposta

1 - e^{-3t} - 2\,t\,e^{-2t}.

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