\text{(ii) Forçamento: } f(t)=0\\ \text{antes de } \pi/2 \text{ e } 1\\ \text{a partir de } \pi/2.ç
A estratégia será usar transformada de Laplace para resolver a equação inteira (sem assumir nada sobre solução prévia).]
Passo 2
Representação conveniente de f(t) usando a função degrau (Heaviside). A função degrau deslocada por a é definida por \;u(t-a)=0 para t<a e \;u(t-a)=1 para t\ge a. Como f(t)=0 para t<\pi/2 e 1 para t\ge\pi/2, temos
f(t)=u\!\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
A transformada de Laplace da função degrau é uma propriedade padrão:
Pelo teorema do deslocamento na frequência (segunda propriedade de deslocamento): se \mathcal{L}\{h(t)\}=H(s) então
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}H(s)\}=u(t-a)\,h(t-a).
Logo vamos encontrar h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}. Note que H(s) é produto de \dfrac{1}{s} (transformada de 1) e \dfrac{1}{(s+2)^2+9} (transformada de uma função exponencial vezes seno). Podemos ver h como a convolução:
Escrever a solução de forma mais clara, em forma de peça (útil para prova): para 0\le t<\pi/2 o degrau é zero e a última parcela desaparece; para t\ge\pi/2 surge a correção. Assim