Calcule:
L^{-1}\left\{\frac{s+2}{\left(s^{2}+4 s-5\right)}\right\} (inversa)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada inversa de Laplace
L^{-1}\left\{\frac{s+2}{\left(s^{2}+4 s-5\right)}\right\}.
Informações dadas explícitas: o numerador é s+2 e o denominador é s^{2}+4s-5. Não há mais dados ocultos. O objetivo final é encontrar uma função de t (normalmente para t\ge 0) cuja transformada de Laplace seja a função racional dada.

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar o polinômio do denominador para ver termos simples do tipo (s-a), que são fáceis de inverter. Vamos fatorar \left(s^{2}+4 s-5\right). Procuramos raízes da equação quadrática
s^{2}+4s-5=0.
Usando a fórmula de Bhaskara (ou observando a soma e o produto), temos
s=\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot1\cdot(-5)}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{-4\pm6}{2}.
Portanto as raízes são s=1 e s=-5. Logo a fatoração é
s^{2}+4s-5=(s-1)(s+5).

Passo 3

Motivação do método: para inverter uma função racional simples, o método mais direto é decompor em frações parciais da forma \dfrac{A}{s-1}+\dfrac{B}{s+5}. Isso é útil porque conhecemos a transformada direta básica
L\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\quad\text{(para \(s\) com parte real maior que \(a\))},
portanto a inversa é
L^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Assim vamos escrever a função dada como soma de termos do tipo \dfrac{\text{constante}}{s-a}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{s+2}{(s-1)(s+5)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+5}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+5) obtemos a identidade em s:
s+2=A(s+5)+B(s-1).
Agora determinamos A e B. Uma forma prática é avaliar em s igual às raízes:
  • Para s=1:
1+2=3=A(1+5)=6A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
  • Para s=-5:
-5+2=-3=B(-5-1)=-6B \quad\Rightarrow\quad B=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}.
Portanto A=\dfrac{1}{2} e B=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Reescrevendo a função original com os coeficientes encontrados:
\frac{s+2}{(s-1)(s+5)}=\frac{1/2}{s-1}+\frac{1/2}{s+5}.
É sempre bom conferir recompondo a soma: \dfrac{1}{2}\dfrac{s+5}{(s-1)(s+5)}+\dfrac{1}{2}\dfrac{s-1}{(s-1)(s+5)}=\dfrac{1}{2}\dfrac{2s+4}{(s-1)(s+5)}=\dfrac{s+2}{(s-1)(s+5)}. Confere.

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo (linearidade da transformada inversa):
Sabemos que
L^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
No nosso caso temos dois termos:
L^{-1}\left\{\frac{1/2}{s-1}\right\}=\frac{1}{2}e^{1\cdot t}=\frac{1}{2}e^{t},
L^{-1}\left\{\frac{1/2}{s+5}\right\}=\frac{1}{2}e^{-5\cdot t}=\frac{1}{2}e^{-5t}.
Somando (pela linearidade),
L^{-1}\left\{\frac{s+2}{s^{2}+4s-5}\right\}=\frac{1}{2}e^{t}+\frac{1}{2}e^{-5t},
válido para t\ge 0 (domínio usual da transformada de Laplace).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}e^{t}+\frac{1}{2}e^{-5t}

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