Calcule:
(inversa)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada inversa de Laplace
Informações dadas explícitas: o numerador é
e o denominador é
. Não há mais dados ocultos. O objetivo final é encontrar uma função de
(normalmente para
) cuja transformada de Laplace seja a função racional dada.
Passo 2
Primeiro passo técnico: fatorar o polinômio do denominador para ver termos simples do tipo
, que são fáceis de inverter. Vamos fatorar
. Procuramos raízes da equação quadrática
Usando a fórmula de Bhaskara (ou observando a soma e o produto), temos
Portanto as raízes são
e
. Logo a fatoração é
Passo 3
Motivação do método: para inverter uma função racional simples, o método mais direto é decompor em frações parciais da forma
. Isso é útil porque conhecemos a transformada direta básica
portanto a inversa é
Assim vamos escrever a função dada como soma de termos do tipo
.
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade em
:
Agora determinamos
e
. Uma forma prática é avaliar em
igual às raízes:
- Para
:
- Para
:
Portanto
e
.
Passo 5
Reescrevendo a função original com os coeficientes encontrados:
É sempre bom conferir recompondo a soma:
. Confere.
Passo 6
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo (linearidade da transformada inversa):
Sabemos que
Sabemos que
No nosso caso temos dois termos:
Somando (pela linearidade),
válido para
(domínio usual da transformada de Laplace).