calcule L, o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.
\lim _{(0,0)} \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}
Estamos em um problema de limite em \mathbb{R}^2. Para existir, o valor da expressão ao aproximar-se de (0,0) deve ser o mesmo em toda direção de chegada.

Passo 2

Usamos coordenadas polares:
x = r\cos(\theta),\quad y = r\sin(\theta),\quad r = \sqrt{x^2+y^2}>0.
Substituindo na função,
\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{r\sin(\theta)}{r} = \sin(\theta).
Ao fazermos r\to0, o valor tende a \sin(\theta), que depende de \theta. Por exemplo, se \theta=0 (chegando pela reta y=0) obtemos \sin(0)=0, mas se \theta=\pi/2 (reta x=0, y>0) obtemos \sin(\pi/2)=1. Como dá resultados diferentes em funções da direção, não há valor único.

Resposta

O limite não existe, pois seu valor depende do ângulo de aproximação.

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