calcule L, o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}.
Este é um limite de função de duas variáveis. Para verificar existência, vamos aproximar por caminhos diferentes e comparar os resultados.

Passo 2

Aproximando por retas y = kx com k\neq \pm1, temos
\frac{x^{2}(kx)}{x^{2} - (kx)^{2}} = \frac{kx^{3}}{x^{2}(1-k^{2})} = \frac{kx}{1-k^{2}}.
Como x\to0, isso tende a 0.

Passo 3

Aproximando pelo caminho y = x + x^{2}, substituímos e simplificamos:
\frac{x^{2}\bigl(x + x^{2}\bigr)}{x^{2} - (x + x^{2})^{2}} = \frac{x^{3} + x^{4}}{x^{2} - \bigl(x^{2} + 2x^{3} + x^{4}\bigr)} = \frac{x^{3}(1 + x)}{x^{2}(-2x - x^{2})} = \frac{1 + x}{-2 - x}.
Ao x\to0, esse quociente tende a -\tfrac12.

Passo 4

Vemos que por y=kx o limite vale 0, mas por y=x+x^{2} vale -\tfrac12. Como obtemos dois valores distintos, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados