Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas: \sum_{n=5}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{3}-3}(x+2)^{n}.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências centrada em -2:
O conteúdo é séries de potências: vamos usar o teste da razão para achar R e depois testar os pontos finais x=-3 e x=-1 por comparação com séries tipo p.
Passo 2
Definimos o coeficiente
a_n = \frac{\ln n}{n^3 - 3}
e aplicamos o teste da razão na série \sum a_n (x+2)^n. Pelo teste da razão, o raio é
R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|.
Para n grande, \frac{\ln n}{n^3-3}\sim\frac{\ln n}{n^3} e sabemos que \sum \frac{\ln n}{n^3} converge (p-série com p=3>1 e fator \ln n). Logo há convergência absoluta em x=-3.
Passo 6
Em x=-1 temos x+2=1 e a série é
\sum_{n=5}^\infty \frac{\ln n}{n^3-3}.
É uma série de termos positivos que, como antes, compara-se com \sum \frac{\ln n}{n^3}, que converge. Portanto também converge em x=-1.
Resposta
O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é