Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=5}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{3}-3}(x+2)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências centrada em -2:
\sum_{n=5}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{3}-3}\,(x+2)^{n}.
O conteúdo é séries de potências: vamos usar o teste da razão para achar R e depois testar os pontos finais x=-3 e x=-1 por comparação com séries tipo p.

Passo 2

Definimos o coeficiente
a_n = \frac{\ln n}{n^3 - 3}
e aplicamos o teste da razão na série \sum a_n (x+2)^n. Pelo teste da razão, o raio é
R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|.

Passo 3

Calculamos
\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{\ln n}{n^3-3}}{\frac{\ln(n+1)}{(n+1)^3-3}} = \frac{\ln n}{\ln(n+1)}\;\frac{(n+1)^3-3}{n^3-3}.
Para n\to\infty temos \ln(n+1)/\ln n\to1 e \frac{(n+1)^3-3}{n^3-3}\to1. Logo
R = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}} = 1.

Passo 4

O raio de convergência é R=1. Portanto a série converge para
|x+2|<1 \quad\Longrightarrow\quad -3 < x < -1.
Agora testamos os extremos x=-3 e x=-1.

Passo 5

Em x=-3 temos x+2=-1 e a série vira
\sum_{n=5}^\infty \frac{\ln n}{n^3-3}\,(-1)^n.
Para verificar convergência usamos convergência absoluta:
\sum_{n=5}^\infty \left|\frac{\ln n}{n^3-3}(-1)^n\right| = \sum_{n=5}^\infty \frac{\ln n}{n^3-3}.
Para n grande, \frac{\ln n}{n^3-3}\sim\frac{\ln n}{n^3} e sabemos que
\sum \frac{\ln n}{n^3} converge (p-série com p=3>1 e fator \ln n). Logo há convergência absoluta em x=-3.

Passo 6

Em x=-1 temos x+2=1 e a série é
\sum_{n=5}^\infty \frac{\ln n}{n^3-3}.
É uma série de termos positivos que, como antes, compara-se com \sum \frac{\ln n}{n^3}, que converge. Portanto também converge em x=-1.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
[-3,\,-1].

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