Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n \ln n}{(n+1)^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n\ln n}{(n+1)^{3}}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo principal é teste de convergência absoluta de séries alternantes. Vamos, então, estudar primeiro
\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n\ln n}{(n+1)^{3}}.

Passo 2

Para testar convergência absoluta, considere
a_n = \frac{n\ln n}{(n+1)^{3}}\,.
Como n+1\sim n para n grande, temos
a_n \sim \frac{n\ln n}{n^3} \;=\;\frac{\ln n}{n^2}\,.
Logo, convém comparar com a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n^2}\,.

Passo 3

Usamos o teste da integral para
\displaystyle\sum \frac{\ln n}{n^2}. Seja
f(x)=\frac{\ln x}{x^2},\quad x\ge2.
Calculamos
\int_{2}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{2}^{\infty}\frac{\ln x}{x^2}\,dx =\Bigl[-\frac{\ln x+1}{x}\Bigr]_{2}^{\infty} =\frac{\ln 2+1}{2}<\infty.
Como a integral converge, a série \sum \ln n/n^2 também converge. Pelo teste da comparação limite, note que
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n\ln n}{(n+1)^3}}{\frac{\ln n}{n^2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{(n+1)^3}=1,
portanto \sum a_n converge.

Passo 4

Como \sum |(-1)^n n\ln n/(n+1)^3|=\sum a_n converge, a série original converge absolutamente. Nesse caso não há distinção de convergência condicional.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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