Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função $ (t + \pi) \cos^{2}(t) U(t + \pi) - (t + \pi) \sin^{2}(t) U(t + \pi) $. A matéria envolvida aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta que a gente usa para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades da Transformada de Laplace, como a transformada de funções escalonadas (funções com $ U(t - a) $) e identidades trigonométricas para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da transformada. Observe que temos $ \cos^{2}(t) - \sin^{2}(t) $. Sabemos pela identidade trigonométrica que:
Então, nossa expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos lidar com a função escalonada $ U(t + \pi) $. A função $ U(t - a) $ representa um “deslocamento” da função original para a direita em $ a $ unidades. No nosso caso, temos $ U(t + \pi) $, que pode ser reescrito como $ U(t - (-\pi)) $, indicando que a função está deslocada para a esquerda, o que não é comum nas transformadas de Laplace padrão que consideram $ t \geq 0 $. Para simplificar, assumiremos que a função está ativa a partir de $ t = 0 $, já que $ t + \pi $ para $ t \geq 0 $ sempre será positivo.
Passo 4
Vamos então calcular a transformada de Laplace de $ (t + \pi) \cos(2t) $. A Transformada de Laplace de $ t \cos(at) $ é dada por:
E a transformada de uma constante multiplicada por $ t $ é:
Passo 5
Agora, combinando essas duas transformadas, temos:
Passo 6
Finalmente, como não há deslocamento negativo relevante no escalonamento da função para $ t \geq 0 $, a transformada final é apenas a soma das partes que calculamos:
Resposta
A transformada de Laplace é: