Calcule la integral de línea integralC 2 x y d x-y d y, donde C es una curva que une el punto p=(0,0) con el punto q=(1,1), en cada uno de los casos siguientes:
C es un segmento de recta que va de p a q.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de linha integralC 2xy , dx - y , dy. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais de linha, especificamente para curvas retas. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva C, que é um segmento de reta de (0,0) a (1,1), e então substituir na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta que vai de (0,0) a (1,1). Uma forma simples de fazer isso é usar um parâmetro t que vai de 0 a 1:
x(t) = t y(t) = t
Aqui, quando t=0, chegamos em (0,0), e quando t=1, chegamos em (1,1).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx e dy em termos de dt. Derivando x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt = 1 Rightarrow dx = dt dydt = 1 Rightarrow dy = dt

Passo 4

Substituímos tudo na integral original. A integral fica:
integral0^1 [2x(t)y(t) cdot dx - y(t) cdot dy] = integral0^1 [2t cdot t cdot dt - t cdot dt] = integral0^1 (2t^2 - t) , dt

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
integral (2t^2 - t) , dt = 23t^3 - 12t^2 + C
Avaliando de t=0 a t=1:
( 23(1)^3 - 12(1)^2 ) - ( 23(0)^3 - 12(0)^2 ) = 23 - 12 = 16

Resposta

A integral de linha é 16.

Exercícios relacionados