Usando a integração por partes, resolva as integrais indefinidas a seguir.
integral cos (x) ln (sen(x)) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral cos(x),ln(sin(x)),dx. Aqui o conteúdo principal é integração por partes, cuja fórmula é integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Vamos escolher as funções para aplicar a fórmula: u = ln(sin(x)) e dv = cos(x),dx. Precisamos então de du e v:
du = dl(ln(sin(x))r) = cos(x)sin(x),dx,
v = integral cos(x),dx = sin(x)

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral cos(x)ln(sin(x)),dx = u,v - integral v,du
Substituindo:
integral cos(x)ln(sin(x)),dx = sin(x)ln(sin(x)) - integral sin(x)cdot cos(x)sin(x),dx
O integrando simplifica:
sin(x)cdot cos(x)sin(x) = cos(x)

Passo 4

Logo ficamos com
integral cos(x)ln(sin(x)),dx = sin(x)ln(sin(x)) - integral cos(x),dx
E como integral cos(x),dx = sin(x), temos: Subtraindo, chegamos ao resultado final:
sin(x)ln(sin(x)) - sin(x) + C

Resposta

sin(x)ln(sin(x)) - sin(x) + C

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