Sabemos que a fórmula da integração por partes é dada por
Determine a seguinte integral indefinida:
Passo 1
Resumo da questão: queremos calcular a integral
. O conteúdo principal aqui é a integração por partes, cuja fórmula é
.
Passo 2
Escolha das funções: vamos definir
e
. Assim, derivando e integrando, obtemos
e
.
Passo 3
Primeira aplicação de integração por partes: usando
e
, temos
Passo 4
Segunda aplicação de integração por partes: para
, seja
e
. Então
e
.
Passo 5
Cálculo da parte restante:
$$\n\int (2x - 2)e^x ,dx = (2x - 2)e^x - \int 2e^x ,dx = (2x - 2)e^x - 2e^x.
$$
Passo 6
Substituindo de volta e simplificando:
$$\n\int (x^2 - 2x)e^x ,dx = (x^2 - 2x)e^x - \bigl((2x - 2)e^x - 2e^x\bigr) = (x^2 - 4x + 4)e^x + C.
$$
Resposta
(x - 2)^2 e^x + C