Sabemos que a fórmula da integração por partes é dada por
integral u d v=u v-integral v d u
Determine a seguinte integral indefinida:
integral(x^2-2 x) e^x d x

Passo 1

Resumo da questão: queremos calcular a integral integral (x^2 - 2x)e^x ,dx. O conteúdo principal aqui é a integração por partes, cuja fórmula é integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Escolha das funções: vamos definir u = x^2 - 2x e dv = e^x ,dx. Assim, derivando e integrando, obtemos du = (2x - 2),dx e v = e^x.

Passo 3

Primeira aplicação de integração por partes: usando u e dv, temos

Passo 4

Segunda aplicação de integração por partes: para integral (2x - 2)e^x ,dx, seja u1 = 2x - 2 e dv1 = e^x ,dx. Então du1 = 2,dx e v1 = e^x.

Passo 5

Cálculo da parte restante:
$$\n\int (2x - 2)e^x ,dx = (2x - 2)e^x - \int 2e^x ,dx = (2x - 2)e^x - 2e^x.
$$

Passo 6

Substituindo de volta e simplificando:
$$\n\int (x^2 - 2x)e^x ,dx = (x^2 - 2x)e^x - \bigl((2x - 2)e^x - 2e^x\bigr) = (x^2 - 4x + 4)e^x + C.
$$

Resposta

(x - 2)^2 e^x + C

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