Calcule la integral de línea integralC 2 x y d x-y d y, donde C es una curva que une el punto p=(0,0) con el punto q=(1,1), en cada uno de los casos siguientes:
C es el arco de la parábola y=x^2 que va de p a q.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar valores ao longo de uma curva. A curva $ C $ que estamos usando é o arco da parábola $ y = x^2 $, indo do ponto $ \mathbf{p} = (0,0) $ até o ponto $ \mathbf{q} = (1,1) $. A integral que vamos calcular é:
C
Pra resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva $ C $ e depois usar essa parametrização para transformar a integral em uma integral comum de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a parábola $ y = x^2 $. Parametrizar significa expressar $ x $ e $ y $ em função de um parâmetro, geralmente chamado de $ t $. Nesse caso, uma boa escolha é deixar $ x = t $. Então, como $ y = x^2 $, temos:
y = x^2
Aqui, $ t $ vai variar de 0 a 1 porque queremos ir de $ x = 0 $ a $ x = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $, que são necessárias para substituir $ dx $ e $ dy $ na integral:
x(t)

Passo 4

Substituímos $ x(t) $, $ y(t) $, $ dx $ e $ dy $ na integral original:
x(t)
Simplificando os termos dentro da integral:
y(t)

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
2t^3 - 2t^3 = 0
Então, a integral fica:
integral0^1 0, dt = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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