Calcule la integral de línea
, donde
es una curva que une el punto
con el punto
, en cada uno de los casos siguientes:
es el arco de la parábola
que va de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar valores ao longo de uma curva. A curva $ C $ que estamos usando é o arco da parábola $ y = x^2 $, indo do ponto $ \mathbf{p} = (0,0) $ até o ponto $ \mathbf{q} = (1,1) $. A integral que vamos calcular é:
Pra resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva $ C $ e depois usar essa parametrização para transformar a integral em uma integral comum de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a parábola $ y = x^2 $. Parametrizar significa expressar $ x $ e $ y $ em função de um parâmetro, geralmente chamado de $ t $. Nesse caso, uma boa escolha é deixar $ x = t $. Então, como $ y = x^2 $, temos:
Aqui, $ t $ vai variar de 0 a 1 porque queremos ir de $ x = 0 $ a $ x = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $, que são necessárias para substituir $ dx $ e $ dy $ na integral:
Passo 4
Substituímos $ x(t) $, $ y(t) $, $ dx $ e $ dy $ na integral original:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Resposta
O valor da integral é 0.