Derivar e Siuplificar
y=log e xe^x

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a expressão y = ln(x)e^x. Esse problema envolve derivação de função, mais especificamente a regra do produto (se reescrevemos como produto) ou a regra do quociente, além das derivadas de ln(x) e da exponencial.

Passo 2

Para facilitar, reescrevemos a função como produto:
y = ln(x) cdot e^-x
Aqui usamos que 1/e^x = e^-x, permitindo aplicar diretamente a regra do produto.

Passo 3

Identificamos os fatores e suas derivadas:
  • Primeiro fator: f(x) = ln(x) então f'(x) = 1/x.
  • Segundo fator: g(x) = e^-x. Como tfracddxe^u = e^uu' com u = -x, temos u'=-1 e portanto g'(x) = -e^-x.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). Substituindo, obtemos:
y' = 1x,e^-x + ln(x),(-e^-x) = 1xe^-x - ln(x)e^-x

Passo 5

Fatoramos e^-x para simplificar:
y' = e^-xl(1x - ln(x)r)

Passo 6

Opcionalmente, podemos reescrever de forma racional:
y' = 1 - xln(x)x,e^x

Resposta

y' = e^-xl(1x - ln(x)r).

Exercícios relacionados