Calcule lang<= x^2rang<= para o enésimo estado estacionário do oscilador harmônico. Utilize:

Passo 1

Beleza, resumindo o que a gente quer: calcular
lang<= x^2rang<=n ;=;lang<= psin|,x^2,|psinrang<=
para o enésimo estado estacionário do oscilador harmônico.
Conteúdo: operadores de criação/aniquilação em Mecânica Quântica.
O que vamos usar:
a+|psinrang<==raizn+1,|psin+1rang<= , a-|psinrang<==raizn,|psin-1rang<=

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever o operador posição x ;=;raizhbar2momega,(a+ + a-) em termos de e .
Sabemos que
Aqui é a constante reduzida, a massa e a frequência do oscilador.

Passo 3

Agora elevamos ao quadrado e colocamos dentro da média:
x^2 ;=;hbar2momega,(a+ + a-)^2 ;=;hbar2momegal(a+^2 + a-^2 + a+a- + a-a+r)
Então
lang<= x^2rang<=n =hbar2momega,lang<=psin|l(a+^2 + a-^2 + a+a- + a-a+r)|psinrang<=

Passo 4

Vamos analisar cada termo:
  1. : , é ortogonal a , então dá zero.
  2. Mesma coisa para .
  3. : primeiro , aí
    .
    Logo o bra-ket dá .
  4. : primeiro , depois
    .
    Então dá .

Passo 5

Somando só os dois termos não-zero:
lang<= x^2rang<=n =hbar2momegal(n + (n+1)r) =hbar2momega(2n+1) =hbarmomegal(n+tfrac12r)

Resposta

boxedlang<= x^2rang<=n = hbarmomegal(n+tfrac12r)

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