Calcule lang<= xrang<=,lang<= x^2rang<=,lang<= prang<=,lang<= p^2rang<=, sigmax e sigmap para o n-ésimo estado estacionário do poço quadrado infinito. Verifique se o princípio da incerteza foi satisfeito. Quais estados ficam próximos ao limite da incerteza?

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Mecânica Quântica que pede para calcular algumas médias e desvios padrão das posições e momentos no n-ésimo estado estacionário de um poço quadrado infinito. A gente vai precisar usar conceitos como funções de onda, operadores de observáveis e o princípio da incerteza. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a função de onda para o n-ésimo estado estacionário do poço quadrado infinito. Se o comprimento do poço é $ L $, a função de onda é dada por:
L
Essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição $ x $ dentro do poço.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado de $ x $, representado por $ \langle x \rangle $. Isso significa a média da posição onde provavelmente a partícula vai estar. A fórmula é:
x
Mas, por simetria do poço, já sabemos que o valor médio de $ x $ é no meio do poço:
lang<= x rang<=

Passo 4

Vamos para $ \langle x^2 \rangle $, que é a média do quadrado da posição. A fórmula é:
lang<= x^2 rang<=
Fazendo os cálculos, o resultado é:
lang<= x^2 rang<= = integral0^L psin^*(x) , x^2 , psin(x) , dx

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \langle p \rangle $, o valor esperado do momento. A fórmula é:
lang<= p rang<=
Onde $ \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} $. Devido à simetria das funções seno, essa média é zero:
lang<= p rang<= = integral0^L psin^*(x) , p , psin(x) , dx

Passo 6

Vamos para $ \langle p^2 \rangle $, que é a média do quadrado do momento. A fórmula é:
lang<= p^2 rang<=
Calculando, obtemos:
lang<= p^2 rang<= = integral0^L psin^*(x) , p^2 , psin(x) , dx

Passo 7

Agora, vamos calcular os desvios padrões $ \sigma_x $ e $ \sigma_p $. Eles mostram a incerteza nas medidas de $ x $ e $ p $.
sigmax
sigmap

Passo 8

Vamos verificar o princípio da incerteza de Heisenberg, que diz que:
sigmax sigmap >= hbar2
Calculando o produto dos desvios:
sigmax sigmap = raizL^212 - L^22pi^2 n^2 times npihbarraiz2L = hbar n piraiz24 raiz1 - 6pi^2 n^2
Para todo $ n $, esse produto é maior ou igual a $ \hbar/2 $, então o princípio da incerteza está satisfeito.

Passo 9

Para ver quais estados ficam próximos ao limite da incerteza, observamos o comportamento de $ \sigma_x \sigma_p $ em relação a $ n $. Quanto menor $ n $, mais próximo o produto fica do limite $ \hbar/2 $. Assim, os estados com $ n = 1 $ (estado fundamental) estão mais próximos do limite da incerteza.

Resposta

Os valores calculados são:
lang<= x rang<= = L2
lang<= x^2 rang<= = L^23 - L^22pi^2 n^2
lang<= p rang<= = 0
lang<= p^2 rang<= = n^2 pi^2 hbar^22L^2
sigmax = raizL^212 - L^22pi^2 n^2
sigmap = npihbarraiz2L
O princípio da incerteza está satisfeito para todos os estados, e o estado fundamental ($ n = 1 $) está mais próximo do limite da incerteza.

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