Calcule
e
para o
-ésimo estado estacionário do poço quadrado infinito. Verifique se o princípio da incerteza foi satisfeito. Quais estados ficam próximos ao limite da incerteza?
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Mecânica Quântica que pede para calcular algumas médias e desvios padrão das posições e momentos no n-ésimo estado estacionário de um poço quadrado infinito. A gente vai precisar usar conceitos como funções de onda, operadores de observáveis e o princípio da incerteza. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a função de onda para o n-ésimo estado estacionário do poço quadrado infinito. Se o comprimento do poço é $ L $, a função de onda é dada por:
Essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição $ x $ dentro do poço.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado de $ x $, representado por $ \langle x \rangle $. Isso significa a média da posição onde provavelmente a partícula vai estar. A fórmula é:
Mas, por simetria do poço, já sabemos que o valor médio de $ x $ é no meio do poço:
Passo 4
Vamos para $ \langle x^2 \rangle $, que é a média do quadrado da posição. A fórmula é:
Fazendo os cálculos, o resultado é:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \langle p \rangle $, o valor esperado do momento. A fórmula é:
Onde $ \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} $. Devido à simetria das funções seno, essa média é zero:
Passo 6
Vamos para $ \langle p^2 \rangle $, que é a média do quadrado do momento. A fórmula é:
Calculando, obtemos:
Passo 7
Agora, vamos calcular os desvios padrões $ \sigma_x $ e $ \sigma_p $. Eles mostram a incerteza nas medidas de $ x $ e $ p $.
Passo 8
Vamos verificar o princípio da incerteza de Heisenberg, que diz que:
Calculando o produto dos desvios:
Para todo $ n $, esse produto é maior ou igual a $ \hbar/2 $, então o princípio da incerteza está satisfeito.
Passo 9
Para ver quais estados ficam próximos ao limite da incerteza, observamos o comportamento de $ \sigma_x \sigma_p $ em relação a $ n $. Quanto menor $ n $, mais próximo o produto fica do limite $ \hbar/2 $. Assim, os estados com $ n = 1 $ (estado fundamental) estão mais próximos do limite da incerteza.
Resposta
Os valores calculados são:
O princípio da incerteza está satisfeito para todos os estados, e o estado fundamental ($ n = 1 $) está mais próximo do limite da incerteza.