Seja psi1(x)=cos (2 x) e psi2(x)=cos (10 x). Descreva e plote o pacote de ondas formado pela superposição dessas duas ondas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com duas ondas, psi1(x)=cos (2x) e psi2(x)=cos (10x). O objetivo é descrever e plotar o pacote de ondas que surge ao somar essas duas ondas. Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de superposição de ondas e trigonometria básica. Vamos precisar entender como somar duas funções cosseno e interpretar o resultado como um pacote de ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando somamos duas ondas, podemos usar a fórmula da soma de cossenos para simplificar a expressão. A fórmula é:
cos(a) + cos(b) = 2 cos(a + b2) cos(a - b2)
Aqui, a e b são os argumentos dos cossenos que estamos somando.

Passo 3

Aplicando essa fórmula às nossas funções psi1(x) e psi2(x), temos:
psi1(x) + psi2(x) = cos(2x) + cos(10x)
Usando a fórmula da soma:
cos(2x) + cos(10x) = 2 cos(2x + 10x2) cos(2x - 10x2)

Passo 4

Agora vamos simplificar os argumentos dentro dos cossenos:
2x + 10x2 = 12x2 = 6x
2x - 10x2 = -8x2 = -4x
Lembrando que cos(-theta) = cos(theta), podemos escrever:
2 cos(6x) cos(-4x) = 2 cos(6x) cos(4x)

Passo 5

Então, a soma das duas ondas fica:
psi(x) = 2 cos(6x) cos(4x)
Essa expressão mostra que a onda resultante é um produto de duas funções cosseno: uma com frequência média ( 6x) e outra com frequência de variação mais lenta ( 4x). Isso forma um pacote de ondas, onde a amplitude da onda média é modulada pela onda de variação mais lenta.

Passo 6

Para plotar o pacote de ondas, vamos imaginar que a função 2 cos(6x) é a onda principal, oscilando rapidamente, e $ \cos(4x)$ é a onda que modula a amplitude dessa onda principal de forma mais lenta. No gráfico, você veria uma onda com picos e vales cuja amplitude aumenta e diminui periodicamente, formando um envelope que delimita o pacote.

Resposta

O pacote de ondas formado pela superposição das ondas psi1(x)=cos (2x) e psi2(x)=cos (10x) é dado por:
psi(x) = 2 cos(6x) cos(4x)
Esse pacote apresenta uma onda principal de frequência 6x cuja amplitude é modulada pela onda de frequência 4x, resultando em um padrão de oscilações rápidas dentro de um envelope de variação mais lenta.

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