Seja
e
. Descreva e plote o pacote de ondas formado pela superposição dessas duas ondas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com duas ondas,
e
. O objetivo é descrever e plotar o pacote de ondas que surge ao somar essas duas ondas. Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de superposição de ondas e trigonometria básica. Vamos precisar entender como somar duas funções cosseno e interpretar o resultado como um pacote de ondas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando somamos duas ondas, podemos usar a fórmula da soma de cossenos para simplificar a expressão. A fórmula é:
Aqui,
e
são os argumentos dos cossenos que estamos somando.
Passo 3
Aplicando essa fórmula às nossas funções
e
, temos:
Usando a fórmula da soma:
Passo 4
Agora vamos simplificar os argumentos dentro dos cossenos:
Lembrando que
, podemos escrever:
Passo 5
Então, a soma das duas ondas fica:
Essa expressão mostra que a onda resultante é um produto de duas funções cosseno: uma com frequência média (
) e outra com frequência de variação mais lenta (
). Isso forma um pacote de ondas, onde a amplitude da onda média é modulada pela onda de variação mais lenta.
Passo 6
Para plotar o pacote de ondas, vamos imaginar que a função
é a onda principal, oscilando rapidamente, e $ \cos(4x)$ é a onda que modula a amplitude dessa onda principal de forma mais lenta. No gráfico, você veria uma onda com picos e vales cuja amplitude aumenta e diminui periodicamente, formando um envelope que delimita o pacote.
Resposta
O pacote de ondas formado pela superposição das ondas
e
é dado por:
Esse pacote apresenta uma onda principal de frequência
cuja amplitude é modulada pela onda de frequência
, resultando em um padrão de oscilações rápidas dentro de um envelope de variação mais lenta.