Encontre as energias possíveis para o poço de potencial quadrado bem definido por:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um poço de potencial quadrado bem definido, descrito pela função:
Isso faz parte do conteúdo de mecânica quântica, onde estudamos como partículas, como elétrons, se comportam em diferentes potenciais. Para resolver esse problema, vamos precisar usar a equação de Schrödinger, que nos ajuda a encontrar as energias permitidas para a partícula dentro desse poço de potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de Schrödinger dependente de tempo para uma partícula em uma dimensão:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é a função de onda, é o potencial, e é a energia total da partícula. Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem essa equação para o poço de potencial dado.
Passo 3
Vamos dividir o problema em duas regiões:
Dentro do poço (): Aqui, .
Fora do poço ( ou ): Aqui, .
Para cada região, resolvemos a equação de Schrödinger separadamente.
Passo 4
Dentro do poço ():
A equação de Schrödinger fica:
Podemos rearranjar para:
Onde definimos . A solução geral dessa equação é:
Fora do poço ( ou ):
Aqui, , então a equação de Schrödinger é:
Rearranjando:
Onde . A solução geral é:
Como queremos soluções que não divergem para , descartamos termos que crescem exponencialmente. Assim, fora do poço, a função de onda fica:
Passo 5
Agora, precisamos aplicar as condições de continuidade da função de onda e de sua derivada nos pontos . Isso garante que a solução seja física e sem descontinuidades.
Igualando as soluções dentro e fora do poço em , temos:
E para as derivadas:
Como o poço é simétrico, a solução pode ser simplificada assumindo que (soluções pares) ou (soluções ímpares).
Passo 6
Resolvendo as equações para as soluções pares ():
Temos:
E:
Dividindo as duas equações, obtemos a condição de quantização das energias:
Substituindo e :
Essa equação deve ser resolvida numericamente para encontrar os valores de E.
Resposta
As energias possíveis para a partícula no poço de potencial quadrado são os valores de E que satisfazem a equação de quantização: