Encontre as energias possíveis para o poço de potencial quadrado bem definido por:
V(x)= -V & para -a / 2á

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um poço de potencial quadrado bem definido, descrito pela função:
V(x)= -V & para -a2 < x < a2 0 & caso contrário á
Isso faz parte do conteúdo de mecânica quântica, onde estudamos como partículas, como elétrons, se comportam em diferentes potenciais. Para resolver esse problema, vamos precisar usar a equação de Schrödinger, que nos ajuda a encontrar as energias permitidas para a partícula dentro desse poço de potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de Schrödinger dependente de tempo para uma partícula em uma dimensão:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 + V(x) psi(x) = E psi(x)
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, psi(x) é a função de onda, V(x) é o potencial, e E é a energia total da partícula. Nosso objetivo é encontrar os valores de E que satisfazem essa equação para o poço de potencial dado.

Passo 3

Vamos dividir o problema em duas regiões:
  1. Dentro do poço ( -a/2 < x < a/2): Aqui, V(x) = -V.
  2. Fora do poço ( x < -a/2 ou x > a/2): Aqui, V(x) = 0.
Para cada região, resolvemos a equação de Schrödinger separadamente.

Passo 4

Dentro do poço ( -a/2 < x < a/2):
A equação de Schrödinger fica:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 - V psi(x) = E psi(x)
Podemos rearranjar para:
d^2 psi(x)dx^2 = -2m(E + V)hbar^2 psi(x) = -k^2 psi(x)
Onde definimos k = raiz2m(E + V)hbar^2. A solução geral dessa equação é:
psi(x) = A cos(kx) + B sin(kx)
Fora do poço ( x < -a/2 ou x > a/2):
Aqui, V(x) = 0, então a equação de Schrödinger é:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = E psi(x)
Rearranjando:
d^2 psi(x)dx^2 = -2mEhbar^2 psi(x) = -kappa^2 psi(x)
Onde kappa = raiz2mEhbar^2. A solução geral é:
psi(x) = C e^kappa x + D e^-kappa x
Como queremos soluções que não divergem para x to pm infty, descartamos termos que crescem exponencialmente. Assim, fora do poço, a função de onda fica:
psi(x) = D e^-kappa |x|

Passo 5

Agora, precisamos aplicar as condições de continuidade da função de onda psi(x) e de sua derivada psi'(x) nos pontos x = pm a/2. Isso garante que a solução seja física e sem descontinuidades.
Igualando as soluções dentro e fora do poço em x = a/2, temos:
A cos(k a2) + B sin(k a2) = D e^-kappa a2
E para as derivadas:
-A k sin(k a2) + B k cos(k a2) = -D kappa e^-kappa a2
Como o poço é simétrico, a solução pode ser simplificada assumindo que B = 0 (soluções pares) ou A = 0 (soluções ímpares).

Passo 6

Resolvendo as equações para as soluções pares ( B = 0):
Temos:
A cos(k a2) = D e^-kappa a2
E:
- A k sin(k a2) = - D kappa e^-kappa a2
Dividindo as duas equações, obtemos a condição de quantização das energias:
k tan(k a2) = kappa
Substituindo k e kappa:
raiz2m(E + V)hbar^2 tan(raiz2m(E + V)hbar^2 a2) = raiz2mEhbar^2
Essa equação deve ser resolvida numericamente para encontrar os valores de E.

Resposta

As energias possíveis para a partícula no poço de potencial quadrado são os valores de E que satisfazem a equação de quantização:
raiz2m(E + V)hbar^2 tan(raiz2m(E + V)hbar^2 a2) = raiz2mEhbar^2
Essas energias devem ser encontradas resolvendo essa equação numericamente para cada estado quântico permitido.

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