Determine o coeficiente de transmissão para uma barreira retangular (V(x)=+V0>0 na região -a ). Separadamente, resolva os três casos: E e E>V0 (note que a função de onda dentro da barreira é diferente nos três casos).
Resposta parcial: para E
T^-1=1+V0^24 E(V0-E) sinh ^2(2 ahbar raiz2 m(V0-E))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Mecânica Quântica que pede para determinar o coeficiente de transmissão ($ T $) para uma barreira retangular onde o potencial $ V(x) = V_0 > 0 $ na região $ -a < x < a $. Precisamos resolver em três casos diferentes: quando a energia $ E $ do elétron é menor que $ V_0 $ ($ E < V_0 $), igual a $ V_0 $ ($ E = V_0 $) e maior que $ V_0 $ ($ E > V_0 $). Para isso, vamos usar a equação de Schrödinger e aplicar conceitos de funções de onda e coeficientes de transmissão e reflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar do caso em que $ E < V_0 E < V0 ééçããéóçãçããçõóó \sinh sinh ó \cosh $).

Passo 3

A expressão já fornecida para o coeficiente de transmissão $ T $ nesse caso é:
T
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida e $ m $ é a massa do elétron. A função $ \sinh $ aparece devido à solução exponencial da equação de Schrödinger na região da barreira.

Passo 4

Agora, vamos para o caso em que $ E = V_0 $. Nesse cenário, a energia do elétron é exatamente igual ao potencial da barreira. A solução da equação de Schrödinger muda porque o termo sob a raiz na função de onda se torna zero. Isso simplifica a função de onda dentro da barreira para uma função linear.

Passo 5

Para $ E = V_0 $, a expressão do coeficiente de transmissão $ T $ pode ser derivada analisando a continuidade da função de onda e sua derivada nas fronteiras da barreira. A função de onda dentro da barreira é linear, e após aplicar as condições de contorno, obtemos:
E = V0
Simplificando, ficamos com:
T

Passo 6

Por fim, vamos considerar o caso em que $ E > V_0 $. Aqui, a energia do elétron é maior que a barreira, então a função de onda dentro da barreira é novamente uma função oscilatória, semelhante àquelas fora da barreira, mas com uma amplitude e fase modificadas.

Passo 7

Para $ E > V_0 $, a expressão do coeficiente de transmissão $ T $ é dada por:
E > V0
Aqui, a função $ \sin $ aparece porque a solução dentro da barreira é uma combinação de exponenciais complexas, que resultam em funções trigonométricas reais.

Resposta

Portanto, os coeficientes de transmissão para cada caso são:
  1. Para $ E < V_{0} $:
    E < V0
  2. Para $ E = V_{0} $:
    T^-1 = 1 + V0^24 E (V0 - E) sinh^2(2 ahbar raiz2 m (V0 - E))
  3. Para $ E > V_{0} $:
    E = V0

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