Calcule o Laplaciano da função varphi dada:
varphi(x, y)=ln (x^2+y^2).

Passo 1

O enunciado pede o Laplaciano da função
varphi(x,y)=lnl(x^2+y^2r).
Conteúdo: derivadas parciais e soma das segundas derivadas (operador nabla^2).

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de primeira ordem usando regra do quociente:
partialvarphipartial x =2xx^2+y^2, partialvarphipartial y =2yx^2+y^2

Passo 3

Aplique derivação em partialvarphipartial x para obter partial^2varphipartial x^2.
Usando u=2x, v=x^2+y^2, u'=2, v'=2x, temos
partial^2varphipartial x^2 =2,v - u,v'v^2 =2(x^2+y^2)-4x^2(x^2+y^2)^2 =2(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2

Passo 4

De modo análogo, derive partialvarphipartial y em relação a y.
Com u=2y, v=x^2+y^2, u'=2, v'=2y, obtemos
partial^2varphipartial y^2 =2(x^2+y^2)-4y^2(x^2+y^2)^2 =2(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 5

Some as duas segundas derivadas para formar o Laplaciano:
nabla^2varphi =partial^2varphipartial x^2 +partial^2varphipartial y^2 =2(y^2-x^2)+2(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2 =0 para (x,y)neq(0,0)

Resposta

nabla^2varphi(x,y)=0em todo ponto (x,y)neq(0,0)

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