Sejam F(x, y, z)=sen x i+cos y j+ln z k, z>0 e G(x, y, z)=e^x cos y i+e^x sen y j. Ache:
F times G.

Passo 1

O enunciado nos dá dois campos vetoriais em R^3:
F(x,y,z) = sin x,i + cos y,j + ln z,k, G(x,y,z) = e^xcos y,i + e^xsin y,j + 0;k,
com z>0. E a tarefa é calcular o produto vetorial FtimesG. Para isso, usamos a definição por determinante
FtimesG = i & j & k Fx & Fy & Fz Gx & Gy & Gz ,
onde Fx = sin x, Fy = cos y, Fz = ln z, Gx = e^xcos y, Gy = e^xsin y e Gz=0.

Passo 2

Calculamos a componente na direção de i. Pelo desenvolvimento do determinante:
(FtimesG)x = Fy,Gz ;-; Fz,Gy = cos y cdot 0 ;-; (ln z),(e^xsin y) = -,e^x,ln z,sin y

Passo 3

Calculamos a componente na direção de j. Lembrando o sinal negativo do cofactor:
(FtimesG)y = -l(Fx,Gz ;-; Fz,Gxr) = -l(sin xcdot 0 - (ln z)(e^xcos y)r) = e^x,ln z,cos y

Passo 4

Calculamos a componente na direção de k:
(FtimesG)z = Fx,Gy ;-; Fy,Gx = sin x,(e^xsin y) ;-; cos y,(e^xcos y) = e^xl(sin x,sin y - cos^2 yr)

Passo 5

Juntando as três componentes, obtemos
FtimesG = l(-e^xln z,sin yr),i ;+;l(e^xln z,cos yr),j ;+;l(e^x(sin x,sin y - cos^2 y)r),k

Resposta

boxed FtimesG = -e^xln z,sin y,i ;+;e^xln z,cos y,j ;+;e^xl(sin x,sin y - cos^2 yr),k

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