Suponha que
e
são raízes de
e que
; então,
e
são soluções da equação diferencial
. Mostre que
também é solução da equação para
. Depois, pense em
como fixo e use a regra de L’Hôpital para calcular o limite de
quando
obtendo, assim, a segunda solução no caso de raízes iguais.
Passo 1
O enunciado considera a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
cuja equação característica é
Se
e
são raízes distintas, sabemos que
e
são soluções. Definimos então
e vamos mostrar que
também satisfaz a equação e, em seguida, usar L’Hôpital para o caso
.
Passo 2
Calculamos as derivadas de
. Primeiro, reescrevendo em bloco:
Logo
Passo 3
Substituímos em
:
pois cada termo entre parênteses é zero (são as equações características para
e
). Portanto
é solução.
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
. Pela regra de L’Hôpital:
Esse é exatamente o segundo membro da base de soluções no caso de raiz dupla.