Suponha que r1 e r2 são raízes de a r^2+b r+c=0 e que r1 neq r2; então, exp (r1 t) e exp (r2 t) são soluções da equação diferencial a y^prime prime+b y^prime+c y=0. Mostre que
phi(t ; r1, r2)=e^r2 t-e^r1 tr2-r1
também é solução da equação para r2 neq r1. Depois, pense em r1 como fixo e use a regra de L’Hôpital para calcular o limite de varphi(t ; r1, r2) quando r2 r1 obtendo, assim, a segunda solução no caso de raízes iguais.

Passo 1

O enunciado considera a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
a,y'' + b,y' + c,y = 0
cuja equação característica é
a,r^2 + b,r + c = 0
Se r1 e r2 são raízes distintas, sabemos que e^r1 t e e^r2 t são soluções. Definimos então
phi(t; r1,r2) = e^r2 t - e^r1 tr2 - r1,
e vamos mostrar que phi também satisfaz a equação e, em seguida, usar L’Hôpital para o caso r2to r1.

Passo 2

Calculamos as derivadas de phi. Primeiro, reescrevendo em bloco:
phi(t; r1,r2) = e^r2 t - e^r1 tr2 - r1
Logo
phi'(t) = r2 e^r2 t - r1 e^r1 tr2 - r1, phi''(t) = r2^2 e^r2 t - r1^2 e^r1 tr2 - r1

Passo 3

Substituímos em a,phi'' + b,phi' + c,phi:
a,phi'' + b,phi' + c,phi = e^r2 tl(a,r2^2 + b,r2 + cr);-; e^r1 tl(a,r1^2 + b,r1 + cr)r2 - r1 = 0,
pois cada termo entre parênteses é zero (são as equações características para r1 e r2). Portanto phi é solução.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando r2 to r1. Pela regra de L’Hôpital:
limr2to r1 phi(t; r1,r2) = limr2to r1e^r2 t-e^r1 tr2 - r1 = partialpartial r2l(e^r2 t-e^r1 tr)|r2=r1 = t,e^r1 t
Esse é exatamente o segundo membro da base de soluções no caso de raiz dupla.

Resposta

phi(t; r1,r2) satisfaz a equação e, no limite r2to r1, obtemos a segunda solução
t,e^r1 t

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