Calcule o laplaciano da função
dada.
-
Passo 1
A questão pede o laplaciano de
para
. O laplaciano é definido por
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem por meio da regra da cadeia e da regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, definimos
, de modo que
. Aplicando a regra da cadeia temos:
Para
Para
Para
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem e somamos:
Para :
Para
Para
:
Somando as duas expressões, os termos se cancelam:
Passo 4
Portanto, a laplaciana de
é zero, mostrando que
é uma função harmônica no domínio
.