Calcule o laplaciano da função varphi dada.
  • varphi(x, y)=arctan (xy), y>0

Passo 1

A questão pede o laplaciano de varphi(x,y)=arctanl(tfracxyr) para y>0. O laplaciano é definido por De. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem por meio da regra da cadeia e da regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, definimos u(x,y)=xy, de modo que varphi=arctan(u). Aplicando a regra da cadeia temos:
Para varphix:
varphix=11+u^2,ux =11+(x/y)^2cdotpartialpartial xl(tfracxyr) =11+(x/y)^2cdot1y =yx^2+y^2
Para varphiy:
varphiy=11+u^2,uy =11+(x/y)^2cdotpartialpartial yl(tfracxyr) =11+(x/y)^2cdotl(-xy^2r) =-xx^2+y^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem e somamos:
Para varphixx:
varphixx=partialpartial xl(yx^2+y^2r) =ycdot(-1),(x^2+y^2)^-2cdot2x =-2xy(x^2+y^2)^2
Para varphiyy:
varphiyy=partialpartial yl(-xx^2+y^2r) =-xcdot(-1),(x^2+y^2)^-2cdot2y =2xy(x^2+y^2)^2
Somando as duas expressões, os termos se cancelam:
varphixx+varphiyy=-2xy(x^2+y^2)^2+2xy(x^2+y^2)^2=0

Passo 4

Portanto, a laplaciana de varphi é zero, mostrando que varphi é uma função harmônica no domínio y>0.

Resposta

De

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