Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas dadas.
x=2 y^2, x=4+y^2

Passo 1

O problema pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas x=2y^2 e x=4+y^2. Vamos usar o método dos discos (anéis), onde cada seção transversal perpendicular ao eixo y é um anel.

Passo 2

Para determinar os limites de integração em y, igualamos as curvas: 2y^2 = 4 + y^2, ou seja y^2 = 4, o que dá y = -2 e y = 2.

Passo 3

Em cada valor de yin[-2,2], o raio externo do anel é Ro(y) = 4 + y^2 e o raio interno é Ri(y) = 2y^2. Logo a área da seção é
A(y) = pil(Ro(y)^2 - Ri(y)^2r) = pil((4+y^2)^2 - (2y^2)^2r)
O volume é
V = integraly=-2^2 A(y),dy = pi integral-2^2 l((4+y^2)^2 - (2y^2)^2r),dy

Passo 4

Agora expandimos o integrando:
(4+y^2)^2 - (2y^2)^2 = (16 + 8y^2 + y^4) - 4y^4 =16 + 8y^2 -3y^4
Então
V = pi integral-2^2 l(16 + 8y^2 -3y^4r),dy
Calculando cada termo:
integral-2^216,dy = 64, integral-2^28y^2,dy = tfrac1283, integral-2^2-3y^4,dy = -tfrac1925
Somando:
integral-2^2(16 + 8y^2 -3y^4),dy = 64 + tfrac1283 - tfrac1925 = tfrac102415
Multiplicando por pi dá o volume.

Resposta

V = 1024pi15

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