Verifique se a sequência é monótona e limitada:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
é monótona e limitada. Vamos usar conhecimentos de monotonicidade de sequências (diferença de termos consecutivos) e de limites para estudar a acotação.
Passo 2
Reescrevemos
de forma mais clara:
. Isso ajuda a ver o sinal e o comportamento quando
.
Passo 3
Calculamos a diferença entre termos consecutivos. Primeiro escrevemos cada termo em forma de fração:
Colocamos na mesma fração:
Ao expandir e simplificar o numerador, obtemos:
Passo 4
Analisamos o sinal de cada diferença. Para
, computamos diretamente
e
, logo
. Para
, nota-se que o polinômio
é positivo, então
. Assim, a sequência é estritamente crescente.
Passo 5
Para a acotação, como
e a sequência é crescente, temos
. Além disso,
e todos os termos são negativos, ou seja,
. Concluímos que
portanto a sequência está limitada inferiormente por
Resposta
A sequência é estritamente crescente (monótona crescente) e limitada inferiormente por
e superiormente por
.