Verifique se a sequência é monótona e limitada:
f(n)=1-2 n^2n^3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência f(n)=1-2n^2n^3 é monótona e limitada. Vamos usar conhecimentos de monotonicidade de sequências (diferença de termos consecutivos) e de limites para estudar a acotação.

Passo 2

Reescrevemos f(n) de forma mais clara: f(n)=1n^3-2n. Isso ajuda a ver o sinal e o comportamento quando ntoinfty.

Passo 3

Calculamos a diferença entre termos consecutivos. Primeiro escrevemos cada termo em forma de fração:
f(n+1)=1-2(n+1)^2(n+1)^3, f(n)=1-2n^2n^3
Colocamos na mesma fração:
f(n+1)-f(n)=(-2n^2-4n-1)n^3-(1-2n^2)(n+1)^3n^3(n+1)^3
Ao expandir e simplificar o numerador, obtemos:
2n^4-2n^3-n^2-3n-1

Passo 4

Analisamos o sinal de cada diferença. Para n=1, computamos diretamente f(1)=-1 e f(2)=-7/8, logo f(2)-f(1)=1/8>0. Para n>=2, nota-se que o polinômio 2n^4-2n^3-n^2-3n-1 é positivo, então f(n+1)-f(n)>0. Assim, a sequência é estritamente crescente.

Passo 5

Para a acotação, como f(1)=-1 e a sequência é crescente, temos f(n)>=-1. Além disso, limntoinftyf(n)=0 e todos os termos são negativos, ou seja, f(n)<0. Concluímos que
-1<=f(n)<0,
portanto a sequência está limitada inferiormente por -1 e superiormente por 0.

Resposta

A sequência é estritamente crescente (monótona crescente) e limitada inferiormente por -1 e superiormente por 0.

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