Mostre que nabla|r|^n=n|r|^n-2|r|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o gradiente de |vec r|^n é igual a n|vec r|^n-2vec r. Esse problema envolve o conceito de gradiente de uma função escalar composta e a aplicação da regra da cadeia. Vamos usar que vec r=(x,y,z) e |vec r|=raizx^2+y^2+z^2.

Passo 2

Vamos ver |vec r|^n como uma composição de duas funções: f(u)=u^n e u=|vec r|. Pela regra da cadeia para gradiente, temos
nablal(f(u)r)=f'(u),nabla u
Aqui isso vira
nablal(|vec r|^nr)=n,u^n-1,nabla u=n|vec r|^n-1,nablal(|vec r|r)

Passo 3

Agora precisamos calcular nabla u, onde u=|vec r|=raizx^2+y^2+z^2. Calculando as derivadas parciais, obtemos
nabla u=l(partial upartial x,partial upartial y,partial upartial zr)=l(xu,yu,zur)=vec ru

Passo 4

Substituindo nabla u=vec r/u na expressão do gradiente, temos
nablal(|vec r|^nr)=n|vec r|^n-1cdotvec r|vec r|=n|vec r|^n-2,vec r

Resposta

nabla|vec r|^n = n|vec r|^n-2,vec r

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