Calcule.
\left(\frac{2}{3}\right)^{0}

Passo 1

O enunciado dá a expressão \left(\frac{2}{3}\right)^{0} e pede que se calcule o valor numérico dessa expressão. Informações relevantes:
  • A base é \dfrac{2}{3}.
  • O expoente é 0.
  • A base \dfrac{2}{3} é diferente de zero (isso importa para a definição do expoente zero).

Passo 2

Vou explicar a regra que permite calcular potências com expoente zero de forma didática e passo a passo.
Definição inicial (expoentes naturais): para um número a e um inteiro positivo n,
a^{n}= \underbrace{a\cdot a\cdot \dotsb \cdot a}_{n\\ \text{vezes}}.
Isso significa que o expoente conta quantas vezes multiplicamos a base por ela mesma.
Propriedade fundamental de potências: para a\neq 0 e inteiros m,n,
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Aqui a é a base (qualquer número diferente de zero) e m,n são inteiros. Essa fórmula vem de cancelar fatores iguais quando se divide potências com a mesma base.
Agora aplicamos essa propriedade escolhendo m=n. Então
\frac{a^{n}}{a^{n}}=a^{n-n}=a^{0}.
O lado esquerdo \dfrac{a^{n}}{a^{n}} vale 1 sempre que a\neq 0, porque qualquer número (não nulo) dividido por ele mesmo é 1. Portanto obtemos a conclusão importante:
a^{0}=1\quad\text{para todo }a\neq 0.
Essa é a razão lógica por que qualquer base não nula elevada a zero dá 1.
Importante: a potência 0^{0} é uma expressão indeterminada em muitos contextos, então a regra acima não se aplica ao caso a=0.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso: a base é \dfrac{2}{3}, que é diferente de zero. Então, pelas contas do passo anterior,
\left(\frac{2}{3}\right)^{0}=1.

Passo 4

Para fixar a ideia, alguns exemplos rápidos:
  • \;5^{0}=1.
  • \;\left(-\tfrac{7}{2}\right)^{0}=1.
  • Lembrete: \;0^{0} não é tratado como 1 aqui (é indeterminado).
Força aí — essa é daquelas regras que salva tempo na prova: qualquer base não nula elevada a zero dá 1.

Resposta

1

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