Calcule:
\ln \left(\frac{1}{\sqrt[3]{e}}\right)+0,01^{\log 2}-\log _{0,111 \ldots} 3

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o valor numérico da expressão
\ln\!\left(\frac{1}{\sqrt[3]{e}}\right)+0,01^{\log 2}-\log_{0,111\ldots} 3.
Informações e observações que extraio do enunciado:
  • Há três termos somados: o termo com \ln, o termo que é 0,01^{\log 2} e o termo -\log_{0,111\ldots}3.
  • O símbolo \ln é o logaritmo natural (base e).
  • O símbolo \log isolado será tratado aqui como logaritmo na base 10 (convenção comum quando \ln aparece separadamente).
  • A expressão 0,111\ldots é um decimal periódico (todos os dígitos depois da vírgula são 1).
    A resolução começa a partir dessas informações; a seguir eu transformo e calculo cada termo passo a passo.

Passo 2

Calcular o primeiro termo \ln\!\left(\frac{1}{\sqrt[3]{e}}\right).
Explicação das regras usadas:
  • Para potências e logs, vale a propriedade \ln(a^b)=b\ln a.
  • A raiz enésima pode ser escrita como potência: \sqrt[3]{e}=e^{1/3}.
Aplicando:
\frac{1}{\sqrt[3]{e}}=\left(e^{1/3}\right)^{-1}=e^{-1/3}.
Logo,
\ln\!\left(\frac{1}{\sqrt[3]{e}}\right)=\ln\!\left(e^{-1/3}\right)=-\tfrac{1}{3},
pois \ln(e^x)=x.

Passo 3

Calcular o segundo termo 0,01^{\log 2}.
Explicação das regras usadas:
  • Em base decimal, 0,01=10^{-2}.
  • Para expoentes, (a^b)^c=a^{bc}.
  • Propriedade muito útil: 10^{\log x}=x quando \log é logaritmo na base 10.
Aplicando essas ideias:
0,01^{\log 2}=\left(10^{-2}\right)^{\log 2}=10^{-2\log 2}.
Agora escrevo -2\log 2=\log\left(2^{-2}\right) (porque \log(a^k)=k\log a), então
10^{-2\log 2}=10^{\log\left(2^{-2}\right)}=2^{-2}=\tfrac{1}{4}.
Portanto o segundo termo vale \tfrac{1}{4}.

Passo 4

Calcular o terceiro termo -\log_{0,111\ldots} 3.
Primeiro, transformar 0,111\ldots em fração. Seja x=0,111\ldots. Então 10x=1,111\ldots. Subtraindo,
10x-x=9x=1 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{9}.
Logo a base do logaritmo é 0,111\ldots=\tfrac{1}{9}.
Agora uso a relação entre potências de 3 e essa fração: \tfrac{1}{9}=9^{-1}=(3^2)^{-1}=3^{-2}. Assim a base é 3^{-2}.
Usando a propriedade de mudança de base ou a fórmula \log_{a^k} b = \dfrac{1}{k}\log_a b, com a=3 e k=-2, obtenho:
\log_{3^{-2}} 3 = \frac{1}{-2}\log_{3}3 = \frac{1}{-2}\cdot 1 = -\tfrac{1}{2},
porque \log_3 3 = 1.
Finalmente, o termo da expressão é com sinal negativo:
-\log_{0,111\ldots}3 = -\log_{3^{-2}}3 = -\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Somar os três termos já calculados:
  • Primeiro termo: -\tfrac{1}{3}.
  • Segundo termo: \tfrac{1}{4}.
  • Terceiro termo: \tfrac{1}{2}.
Somando:
-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}.
Coloco denominador comum 12:
-\tfrac{4}{12}+\tfrac{3}{12}+\tfrac{6}{12}=\tfrac{-4+3+6}{12}=\tfrac{5}{12}.

Resposta

\tfrac{5}{12}

Exercícios relacionados