Calcule:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o valor numérico da expressão
Informações e observações que extraio do enunciado:
- Há três termos somados: o termo com
, o termo que é e o termo . - O símbolo
é o logaritmo natural (base ). - O símbolo
isolado será tratado aqui como logaritmo na base (convenção comum quando aparece separadamente). - A expressão
é um decimal periódico (todos os dígitos depois da vírgula são ).
A resolução começa a partir dessas informações; a seguir eu transformo e calculo cada termo passo a passo.
Passo 2
Calcular o primeiro termo
.
Explicação das regras usadas:
- Para potências e logs, vale a propriedade
. - A raiz enésima pode ser escrita como potência:
.
Aplicando:
Logo,
pois
.
Passo 3
Calcular o segundo termo
.
Explicação das regras usadas:
- Em base decimal,
. - Para expoentes,
. - Propriedade muito útil:
quando é logaritmo na base .
Aplicando essas ideias:
Agora escrevo
(porque
), então
Portanto o segundo termo vale
.
Passo 4
Calcular o terceiro termo
.
Primeiro, transformar
em fração. Seja
. Então
. Subtraindo,
Logo a base do logaritmo é
.
Agora uso a relação entre potências de
e essa fração:
. Assim a base é
.
Usando a propriedade de mudança de base ou a fórmula
, com
e
, obtenho:
porque
.
Finalmente, o termo da expressão é com sinal negativo:
Passo 5
Somar os três termos já calculados:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
.
Somando:
Coloco denominador comum
: